这一章的主要内容.ppt

《这一章的主要内容.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、这一章的主要内容：第四章习题课§4.1矩阵的特征值与特征向量定义4.2设A为n阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λI-A称为A的特征矩阵，其行列式

2、λI-A

3、为λ的n次多项式，称为A的特征多项式，

4、λI-A

5、＝0称为的特征方程。求特征值和特征向量的步骤：1）计算A的特征多项式

6、λI-A

7、。2）求出特征方程

8、λI-A

9、＝0的全部特征值。对每个特征值λ0，求出相应的齐次线性方程组（λ0I-A）x=0的一个基础阶系η1,…,ηt，则A的λ0关于的特征向量为：c1η1+…+ctηt。命题2：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一特征值不为零。

10、（二）特征值与特征向量的性质：定理4.1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.补充性质：若λ是矩阵A的特征值，x是关于λ的特征向量，则：a)kλ是kA的特征值。b)λm是Am的特征值,m是自然数。c)A可逆时，λ-1是A-1的特征值。§4.2相似矩阵(一)相似矩阵定义及其性质定理4.4如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。自反性：A∽A。对称性：A∽B则B∽A。传递性：A∽B及B∽C可得：A∽C。但逆命题不成立：相似矩阵的性质：1）相似矩阵有相同的秩。2）相似矩阵的行列式相等。3）相似矩阵或都可逆，或都不可

11、逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。问题：1）是否所有的n阶矩阵能与对角矩阵相似？如不，相似需要何条件？2)如n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则相似的变换矩阵P如何得到？3)n阶矩阵A相似的对角矩阵是怎样的矩阵？4）对某些n阶矩阵不能与对角矩阵相似，则能否有新的且较简单的矩阵与它相似？（二）阶矩阵与对角矩阵相似的条件注意：有n个相异特征值只是可化为对角矩阵的充分条件，而不是必要条件。换句话说，特征值不全相异时也有可能化为对角矩阵。§4.3实对称矩阵得特征值和特征向量（一）向量内积（二）正交向量组定义4.7如果两个向量α与β的内

12、积等于零，即：αTβ=0，则称向量α与β互相正交（垂直）。定义4.8Rn中的非零向量组α1,α2,…,αn两两正交，即αiTαj=0，(i≠j)则称该向量组为正交向量组。定理4.8Rn中的正交向量组必线性无关。但是：无关向量组未必是正交向量组。可以验证，β1，β2，…，βs是正交向量组，且与α1，α2，…，αs可以相互线性表示。（三）正交矩阵定义4.9设n阶实矩阵，满足QTQ=I则称Q为正交矩阵。定理4.9设Q为n阶实矩阵，则Q为正交矩阵<=>Q的列（行）向量组是单位正交向量组。正交矩阵的性质：1）若Q为正交矩阵，则其行列

13、式的值为1或-1。若Q为正交矩阵，则Q可逆，且Q-1=QT。若P、Q为正交矩阵，则它们的积PQ也是正交矩阵。（不证）（四）实对称矩阵的特征值和特征向量定理4.10实对称矩阵的特征值都是实数。定理4.11实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的。定理4.12设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵。至此，只要矩阵为实对称矩阵，则一定可与对角矩阵相似。这一章的主要问题：一、求矩阵的特征值与特征向量；相关的简单的证明。例2、已知A的特征值λ及相应的特征向量为x，P是可逆矩阵，则P-1AP的特征值为————

14、，P-1AP的特征向量为——————。例4、λ1、λ2是A的两不同特征值，相应的特征向量为x1、x2，则ax1+bx2不是A的特征向量,a,b为非零常数。例5、A和B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0,B2+B=0,AB=BA=0,证明：1）λ=-1必为A和B的特征值。2)如x1,x2是A和B的特征值λ=-1的特征向量，则x1,x2线性无关。二、矩阵的相似对角化求矩阵的相似对角矩阵及变换矩阵，相关问题的证明。三、关于向量的内积、长度、正交化、单位化四、正交相似对角化和正交矩阵求矩阵的正交相似对角矩阵，相关的证明。