逆矩阵与广义逆矩阵.ppt

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1、逆矩阵定义:若一个n×n的正方矩阵有n个线性无关的列向量和n个线性无关的行向量,则这个矩阵称为非奇异矩阵。对于非奇异矩阵来说才存在逆矩阵,奇异矩阵一定不存在逆矩阵。逆矩阵设A是n×n的正方矩阵,如果有n×n正方矩阵B,使AB=BA=I则称A是可逆矩阵,且称B为A的逆矩阵.如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的,记其为A-1.逆矩阵方阵的奇异性和可逆性的等价说法:(1)A是非奇异矩阵;(2)A-1存在;(3)rank(A)=n;(4)A的行线性无关,列线性无关;(5)det(A)≠0;(6)Ax=b对每一个b有唯一解;(7)

2、Ax=0只有平凡解x=0;(行秩列秩,解的情况)逆矩阵逆矩阵的性质:(1)复共轭转置矩阵AH的逆矩阵等于逆矩阵A-1的复共轭转置,即(AH)-1=(A-1)H(2)若AH=A,则(A-1)H=A-1(3)(A*)-1=(A-1)广义逆矩阵引入:正方矩阵的逆矩阵推广到长方形矩阵或奇异的正方矩阵,就得到了广义逆矩阵。广义角度,对于任一矩阵L,若它与矩阵A乘积等于单位矩阵I,即LA=I,那么L就是A的逆矩阵。广义逆矩阵满足以上条件的矩阵L有以下三种情况:(1)在某些情况下,L存在,并且唯一;(2)在另一些情况下,L存在,但并不唯一

3、;(3)在某些情况下,L不存在。广义逆矩阵左、右逆矩阵定义:满足LA=I,但不满足AL=I的矩阵L称为矩阵A的左逆矩阵;满足AR=I,但不满足RA=I的矩阵称为矩阵A的右逆矩阵。1.5Ay=xBz=yCz=x2-114C=AB=123-1=133-2352-98Z1–4Z2=X113Z1+3Z2=X2-9Z1+8Z2=X3

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