随机过程第一章总结.ppt

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1、第一章小结第一章小结一、几个概念二、随机过程的分布函数与密度函数三、随机过程的数字特征四、两个随机过程的联合分布和数字特征第一章小结问题一:可用哪些概率函数描述一个随机变量?答:概率分布函数、概率密度函数、特征函数。问题二:可用哪些数字特征部分描述一个随机变量?答:均值、方差、协方差、相关系数。问题三:随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系?答:随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征(即变量特性),还增加了变量取每个值的可能性大小的描述(即概率特性)。因此,描述或刻画一个随机变量时,还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。第一章小结【二】随机过程分布函数定义:【定义一】随机

2、过程的一维分布函数与密度函数:设是一随机过程,对于每一个固定的,是一随机变量,它的分布函数是与有关的,则称为随机过程的一维分布函数,若存在导数,则称为随机过程的一维密度函数第一章小结【二】随机过程分布函数定义:【定义二】随机过程的二维分布函数与密度函数:设是一随机过程,给定两个时刻,随机变量和的联合分布与和有关,记作称为随机过程的二维分布函数,若存在二阶偏导数,则称为随机过程的二维密度函数第一章小结【二】随机过程分布函数定义:【定义三】随机过程的维分布与密度函数:设随机过程,当时间取任意个数值及时,记维随机向量的联合分布函数称为随机过程的维分布函数,若存在阶偏导数,则称为随机过程的

3、维密度函数。第一章小结【二】随机过程分布函数的性质:【性质一】对称性:对的任意排列,有即随机过程的分布函数在下标的任意置换下是不变的。【性质二】相容性:对有第一章小结【三】数学期望和方差【定义一】数学期望:设随机过程,是一维概率密度函数,则称一阶原点矩为随机过程的数学期望。【定义二】方差:设随机过程,则称二阶中心矩为随机过程的方差。记作或。同时,有公式:第一章小结【三】自相关函数和协方差函数【定义三】自相关函数:设随机过程,并且相应的二元联合概率密度函数为,则称它们的二阶原点矩为随机过程的自相关函数,简称为相关函数,简记为或。【定义四】自协方差函数:设和是随机过程的任意两种不同时刻

4、和的随机变量,称它们的二阶中心混合矩为该随机过程的自协方差函数,简称为协方差函数,简记为或。且有:第一章小结【三】例题【例一】设有正弦波过程,其中振幅取常数,角频率取常数,相位是一个均匀分布于间的随机变量,求的均值和相关函数。【分析】(1)(2)由后面介绍内容知,该过程的均值是一常数,而自相关函数仅仅与时间差有关,所以是一平稳随机过程。第一章小结【四】两个随机过程的联合分布函数和密度函数【定义一】联合分布函数与密度函数:设和是两个随机过程,它们具有同一参数集,和是参数集内的任意两组实数,则称维随机变量的联合分布函数为随机过程和的维联合分布函数。相应的维联合密度函数为:第一章小结【四

5、】两个随机过程的联合分布函数和密度函数【定义二】两随机过程的相互独立:设如果对任意正整数和以及任意数组和联合分布函数或联合密度函数满足下列关系或则称随机过程和是相互统计独立的。第一章小结【四】两个随机过程的互相关函数和互协方差函数【定义三】互相关函数:设两个随机过程和在任意两个不同时刻则称二阶混合原点矩为随机过程和的互相关函数,其中为随机过程和在时刻的联合密度函数。【定义四】互协方差函数:两个随机过程和的二阶混合中心矩称为随机过程和的互协方差函数。由定义知互协方差函数与互相关函数的关系式:第一章小结【四】两个随机过程的互相关函数和互协方差函数【性质一】对称性:【性质二】若随机过程和

6、相互独立,则有及【性质三】若随机过程和对于任意的都有或则称随机过程和是互不相关的。特别地,如果两个随机过程是相互独立的,则它们必然互不相关,反之不一定成立,但对两个正态随机过程而言,不相关与相互独立是相互等价的。第一章小结【三】复随机过程【定义一】复随机变量:设为同一概率空间上的两个取实数值的随机变量,并设,则称为该概率空间上的复随机变量。如果和的一阶矩和二阶矩都存在,则称为复随机变量的均值和方差。【定义二】复随机过程:设和是具有相同的参数集上的两个随机过程,则称为复随机过程。若和的数学期望和二阶矩都存在,则定义为均值函数,为方差函数,为自相关函数,自协方差函数定义为:第一章小结【

7、四】复随机过程【性质一】对称性:【性质二】互相关函数和互协方差函数:两个复过程和的互相关函数和互协方差函数分别为:

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