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1、２.２.３向量数乘运算及其几何意义高中数学必修4第二章平面向量青铜峡高级中学叶正龙2009年5月13日8/4/2021复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bao.O.Ca+bbaABba+ba8/4/2021复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.aba-bo.BAab8/4/2021实际背景在物理中：位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量8/4/2021练习1:OAPB探究:相同向量相加以
2、后，和的长度与方向有什么变化？-a如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).aa-aaa-aOA=a+a+aPB=(-a)+(-a)=3a=-2a8/4/2021定义:特别地，当λ=0或a=0时,λa=0(2)方向当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；(1)长度
3、λa
4、=
5、λ
6、·
7、a
8、一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。它的长度和方向规定如下：几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（不改变）的方向，就得到了λa
9、λ
10、aa8/4/20
11、21练习2:结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。=8/4/2021①λ(μa)=(λμ)a运算律:设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb结合律第一分配律第二分配律8/4/2021练习3:解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(
12、3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b8/4/2021思考:定理:当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=
13、λa？对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有
14、b
15、=μ
16、a
17、,且8/4/2021例题1:AEDCB解：=3AC=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断AC与AE是否共线?8/4/2021例题2:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+
18、b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba∵AB=OB-OA∴AC=2AB又AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，8/4/2021ADBMC例3如图:ABCD的两条对角线交于点M,且,你能用 ，表示吗？8/4/2021练习4:P902、3、4、58/4/2021小结回顾:二、知识应用：1.证明向量共线；2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线；3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB、CD不重合直线AB∥直
19、线CD一、概念与定理①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线8/4/2021作业:P919、12谢谢!8/4/2021
