高三数学《求函数的最值或值域》.ppt

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1、2010届高考数学复习欣赏体会丰富自我深入探究揭示本质巅峰回眸豁然开朗持之以恒成功在握求函数的最值或值域罗甸民族中学刘晓荣知识网络最值求解方法最值问题常用解法最值综合问题最值应用问题“恒成立”问题“存在”问题1.最值问题常用方法有：配方法，判别式法，代换法，不等式法，单调性法，数形结合法，三角函数有界法，反函数法等等。2.最值问题，综合性强，几乎涉及到高中数学的各个分支，在历年高考试题中，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现。解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在

2、这里得到充分的展现。复习导引高考风向标最值问题在近几年高考试题中，主要有以下几种形式:1)基本函数的最值问题;2)线性规划中的最值问题;3)应用问题中的最值问题;4)与概率和导数有关的最值问题。分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数变形为：例1、求下列函数的值域：（1）y=√x-3+√5-x;(2)y=√x-3-√5-x.由x∈[3,5]知，-x2+8x-15∈[0,1],即当x=4时，ymax=2，当x=3或5时，ymin=√2,故原函

3、数的值域为[√2，2]。解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≧0,y看成常数,方程有实根的条件是=162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)≧0,注意到y>0得y2-4≦0即0

4、时，ymax=√2,故原函数的值域为y∈[-√2,√2].例2.设x是正实数，求函数的最小值。又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。说明：本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。解：例3、求函数的最大值。（把变量都放在同一条件下既根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量次数相同且系数和为零，且取到等号）解：（仅当时取等号）。因此仅当错题纠正：例4、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解:即的最小值为过程中两次

5、运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值解:当且仅当即:时取“=”号即此时正确解答是:例5、若实数x、y满足的最大值。所以设z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y),∴z=(2x+y)+(x+3y)≤×8+×9=7.的最大值为7。解：因为实数xy满足∴即例6求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。解法1：由函数知定义域为R,则变形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故y≠

6、1/2.当2y-1≠0,即y≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0得3/10≤y≤1/2,综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2）.解法2：（函数的单调性法）是增函数，u取最小值时，y也取最小值。∴原函数的值域为y∈〔3/10,1／2）例7求函数的反函数的定义域.分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的值域，可用不等式法求解。解：变形可得∴反函数的定义域为(-1,1)。例8求下列函数的值域：(1)y=6x2-2x3,(0

7、式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。(1)解：原函数可变形为：当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0