常系数齐次线性微分方程组的一个性质及应用.pdf

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1、＼第25卷第2期2012年3月机电产品开笈与剀新D州山炉蛐t＆IIlr州撕蚰ofM舵hinery＆Elec伍calProdu咖V01．25．NO．2Mar．．2012文章编号：1002—§673(2012)02一183—03常系数齐次线性微分方程组的一个性质及应用张喜文(辽宁信息职业技术学院。辽宁辽阳1l1000)摘要：常系数齐次线性微分方程组在一定条件下存在与其等价的常系数齐次线性微分方程，它们具有相同的特征多项式．因而有相同的特征根。常系数齐次线性微分方程组的通解可以通过与其等价的常系数齐次线性微分方程的通解求得。关键词：

2、常系数齐次线性微分方程组；常系数齐次线性微分方程；等价；特征多项式中图分类号：0175．1l文献标识码：AdOi：10．3969，j．issn．1002-6673．2012．02．cr750恤QIaracter锄dU弛App吐cati帆ofHomog蛳∞吣Li呦rⅨ瞪咖确alEq岫吐蚰syst哪w‰Const锄t渊d蜘伍zHANGx卜Wen(L沁niIlgInfor蚴donVocatioIlalTecbnicalCoⅡege。hoyangIja砌Ilg111000，Chim)A随岫嚏=t：onc盯niIlcond证om。hof

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4、aleq咖omwidIcomtamcoc伍cien船．K巧word戤hom咿neo啦li芏璩牡di舔Tend3leq嘶∞sy驰哪谢血co瑙t孤tc钟伍cienB；honlo擎neomliIle缸dj疵∞ntmeq唧匝。岱砌con-s咖tcoc缶de衄；eql小dence；chanctefi妇cPI岫m试。翟⋯⋯一⋯⋯⋯其等l常系数齐次线性微分方程组的通解可以通过与其等l价的某个未知函数的常系数齐次线性微分方程的通解求得，但与其等价的某个未知函数的常系数齐次线性微分方程并不一定存在。因此找到常系数齐次线性微分方程组关于某个未知函

5、数等价的常系数齐次线性微分方程存在的条件成为解决该问题的关键，以下的研究就给出了此问题的答案。1与常系数齐次线性微分方程组等价的常系数齐次线性微分方程设常系数齐次线性微分方程组为：X，．Ax(1)其中：x=Xlx2：●x_．X名Xlx27●：吖a11a砼⋯ah，A：l砌a篮⋯a知anla以⋯a_收稿日期：2011—12—19作者简介：张喜文(1％5一)，男，辽宁盘锦人，大学本科，剐教授。从事高等数学理论与教学方法研究。已发表论文五篇。xl，x2，⋯，k是变量t的未知函数，xl’，x2，，⋯，<是它们对变量t的一阶导数；A是方程

6、组(1)的系数距阵，记：A产(ad，⋯，aiH，a“l'⋯，a-)laHI；Bi：l‰得：an⋯alHaM⋯ahkl‰⋯a“■I凰拍{⋯a．卜I丑引引}=：引l≤i≤n，则方程组(1)可以改写为：f】【i，-AⅨI+a函(1．1)1)【i，-Aii)(寸Bi】【i(1．2)式(1．1)两端同时对变量t求导后，再用式(1．2)消去再”=AAiⅨi+AiB函+aixi’(1．3)式(1．3)两端同时对变量求导后再用式(1．2)消去)【i’得：x，=AiAj捧I+AAiiBd时AiB雨，+a卤”(1．4)Ij二三囊三。饥n，183耻

7、；轴u．X，·综合研究·越xi“)-AAi一1xi+∑AAoB萍』啊akp一”(1．n十1)j=O这里规定】【i(o’确，A¨o=En_i(n一1阶单位矩阵)。式(1．1)，(1．3)，(1．4)，⋯，(1．n)经过将含有)【i的项移到等式左端整理后可用矩阵形式表示为：‘lAl舭。l：【A．A；P】【i。．．a函F—AiB函一a函’h一3】【i(洲一∑AAiijB矿‰酬㈣j-O当行列式det【AiAiA．Ai—a缸·AiBiAA⋯A山呷≠0时，xi’一凰函】【i”一AiBj】【广aidq’n一3xi㈤一∑A甜B妒机螭㈣jzO1

8、0⋯0吨l⋯OOAA产j【_AA。吨；一AAj咆t-AA∥Bi⋯‰l把式(2)代入式(1．n+1)可得：xixi，⋯xp(2)xi‘“’+alxi‘一’+⋯+k丙，+螭=：0(3)其中al，a2，⋯，an为常数。式(3)是关于xj的一个n阶常系数齐次线性微分方程。由《微分方程