大学微积分的教程.ppt

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1、第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第四章1主要内容■函数的单调性■曲线的凹凸性与拐点工具:一阶导数工具:二阶导数2函数的单调性与导数符号的关系y=f(x)函数单调增加函数单调减少>0<03函数单调性的判定定理定理设函数y=f(x)在[a,b]处连续,在(a,b)内可导.(1)如果f(x)>0,x(a,b),则f(x)在(a,b)上单调递增;(2)如果f(x)<0,x(a,b),则f(x)在(a,b)上单调递减.4例解1)讨论函数y=lnx的单调性.2)讨论函数y=ex-x-1的单调性.y<0,y在(-∞

2、,0)上单调递减;当x>0时,y>0,y在(0,+∞)上单调递增.解lnx在(0,+∞)上单调递增.当x<0时,5解f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)令f(x)=0得:x1=1,x2=2当-∞0,在(-∞,1)上单调递增;当10,在(2,+∞)上单调递增.求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的增减性.例16求函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的增减性.解f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)令f(x

3、)=0得:x1=1,x2=2(-∞,1)(1,2)(2,+∞)12也可用列表法讨论如下:00所以,递增区间为:(-∞,1)和(2,+∞);递减区间为:(1,2).例17求函数f(x)=(x+2)2(x-1)3的单调区间.例28求函数f(x)=(x+2)2(x-1)3的单调区间.解f(x)=(x+2)(5x+4)(x-1)2令f(x)=0得:(-∞,-2)-1列表讨论如下:x1=-2,x2=,x3=145(1,+∞)1(-2,)4545(,1)45000递增区间为:(-∞,-2)和(,+∞);45递减区间为:(-2,).45例29求函数y=的单调性.解当-∞

4、0,在(0,+∞)上单调递增.当x=0时,导数不存在.例310导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点.注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,y-2O2-4-224xy=x3驻点方法:用驻点和不可导点来划分函数的定义区间,然后判断区间内导数符号.总结11利用函数的单调性证明不等式例4证当x>0时,证明x>ln(1+x).设f(x)=x-ln(1+x)则即x>ln(1+x).而f(0)=0,f(x)>f(0)=0.当x>0时,f(x)>f(0).在(0,+

5、∞)上单调递增f(x)在(0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导,且f(x)>012例5证综上所述,当x≠0时,总有ex>1+x令f(x)=ex-(1+x)则f(x)=ex-1当x>0时,f(x)>0,f(x)在(0,+∞)为增函数即ex>1+xf(x)>f(0)=0.当x<0时,f(x)<0,f(x)在(-∞,0)为减函数即ex>1+xf(x)>f(0)=0.13利用函数的单调性讨论方程的根由连续函数的介值定理知,例6证证明方程有且只有一个实根.设f(x)在(0,-1)内至少有一个根.又因为所以,f(x)在(0,-1)内有且只有一个实根.f(x)在(

6、0,-1)上单调递增.14二、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?NABM15函数曲线除了有上升和下降外,还有什么特点?16曲线凹向的定义如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点的切线的上方,则称曲线在这个区间内是上凹的;如果在某区间内,曲线弧位于其上任意一点的切线的下方,则称曲线在这个区间内是下凹的.上凹下凹17曲线凹向的定义设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.如果对(a,b)中任意一点x0,总成立:f(x)>(<)f(x0)+f(x)(x-x0)>0,x(a,b)且x≠x0则称曲线在[a,b]上是上(下)凹的.连续曲线在上凹与下

7、凹的分界点,称为拐点.18曲线的凹向与函数的导数的单调性拐点上凹下凹当曲线是上凹的时,f(x)单调增加。当曲线是下凹的时,f(x)单调减少。曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。19定理设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导.则曲线y=f(x)在[a,b]上是上凹的;(1)如果>(2)如果<则曲线y=f(x)在[a,b]上是下凹的;20解xyO求函数y=x3的上凹、下凹区间及拐点.拐点为(0,0).例721得解求函数y=3x4-4x3+1的上凹、下凹区间及拐点.上凹下凹上凹拐点拐点令例822拐点的求法:1.找出二阶导数为零的点或不可导点;

8、2.若它两边的二阶导数值异号,则为拐点

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