导数的计算(第二课时).ppt

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时间:2020-04-05

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1、1.2.2导数的计算(2)——导数的四则运算法则及复合函数的导数知识回顾:基本初等函数的导数公式一.函数和(或差)的求导法则设f(x),g(x)是可导的,则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x).即两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差).即新课讲解:这个法则可以推广到任意有限个函数,证明:令y=f(x)+g(x),则即同理可证这个法则可以推广到任意有限个函数,即小结:对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式.例2.求多项式函数f(

2、x)=的导数。解:f'(x)=二.函数积的求导法则设f(x),g(x)是可导的函数,则两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:证:因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:例3.求y=sin2x的导数。解:y'=(2sinxcosx)'=2(cosx·cosx-sinx·sinx)=2cos2x.解:法二:法一:三.函数的商的求导法则设f(

3、x),g(x)是可导的函数,g(x)≠0,两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即推论:例5.求y=的导数.解:例6.求y=tanx的导数。解:y'=例8.求y=·cosx的导数.解法一:y'=(·cosx)'=()'cosx+(cosx)'解法二:y'=(·cosx)'=()'练习法二y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′

4、](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11.新课1、复合函数现象像①②③这样的函数就是复合函数.2、复合函数的定义对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,练习:指出下列函数中的复合函数√××√练习:将复合函数分解成最简单函数定理设函数y=f(u),u=(x)均可导,则复合函数y=f((x))

5、也可导.且或或复合函数的求导法则即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)推论设y=f(u),u=(v),v=(x)均可导,则复合函数y=f[((x))]也可导,且复合函数的求导法则一般称为链式法则例11、求下列函数的导数练习1.设y=sin2x,求y.2.设y=etanx,求y.求y.3.4.求y.5.设y=sin(xlnx),求y.6.,求y.7.求y.练习题1.函数y=sin2x的导数为()(A)y'=cos2x(B)y'=2

6、cos2x(C)y'=2(sin2x-cos2x)(D)y'=-sin2xB2.下列曲线在点x=0处没有切线的是()(A)y=x3+sinx(B)y=x2-cosx(C)y=x+1(D)y=D3.若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,且f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足()(A)f(x)=g(x)(B)f(x)-g(x)为常数函数(C)f(x)=g(x)=0(D)f(x)+g(x)为常数函数B4.曲线y=x3+x2+l在点P(-1,1)处的切线方程为.y

7、=x+25.函数y=sinx(cosx+1)的导数为.y’=cos2x+cosx6.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处与直线y=x+1相切,求b,c的值.7.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,试求k的值.解:∵y=x3-3x2+2x,∴y'=3x2-6x+2,y'

8、x=0=2,又∵直线与曲线均过原点,∴当直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切于原点时,k=2.若直线与曲线切于点(x0,y0)(x0≠0).则k=又点(x0,y0)也在曲线y=x3-3x2+2x上,∴y0=

9、x03-3x02+2x0,又∵y′=3x2-6x+2,∴k=3x02-6x0+2,∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2,∵x0≠0,∴x0=k=3x02-6x0+2=-,∴2x02-3x0=0.综上所述,k=2或k=-例9.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:假定某种商品的,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?例9.日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯净

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