定积分的应用.ppt

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1、高等数学第六章定积分的应用回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值（1）把区间分成n个长度分别为的小区间，那么相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素若用上的窄曲边梯形的面积，则并取于是表示任一小区间元素法的一般步骤：1）分割2）近似3）求和4）取极限这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．[f上(x)f下(x)]dx,它也就是面积元素.二、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下

2、(x)及左右两条直线xa与xb所围成.因此平面图形的面积为在点x处面积增量的近似值为1.直角坐标情形讨论：由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素为[j右(y)j左(y)]dy,例1计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.解(2)确定在x轴上的积分区间:[0,1];(1)画图;(4)计算积分例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的积分区间:(4)计算积分(3)确定左右曲线:[-2,4].解(1)画图;解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注

3、意各积分区间上被积函数的形式．例4因为椭圆的参数方程为xacost,ybsint,所以解椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.于是ydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线()及射线,所围成的图形.曲边扇形的面积2.极坐标情形例1计算阿基米德螺线a(a>0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解曲边扇形的面积：例2计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积.解解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积三、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做

4、旋转轴.1.旋转体的定义旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2、体积求法旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.旋转体的体积旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积于是体积元素为dV[f(x)]2dx.例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.解旋转体的体积：例2计算由

5、椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.旋转体的体积：解轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为旋转体的体积：例3计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为例4计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解设曲线左半边为x=x1(y),右半边为x=x2(y).所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为63a3.解绕固定轴旋转所成旋转体的体积解(2)四、平面曲

6、线的弧长.设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,其中f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素.因此,曲线弧的长度为直角坐标情形曲线yf(x)(axb)的弧长：例1长度.因此,所求弧长为解解设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出,其中(t)、(t)在[,]上具有连续导数.于是曲线弧的长为参数方程情形曲线yf(x)(axb)的弧长：曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：解:曲线yf(x)(axb)的弧长：例2计算星形线,的全长.

7、用参数方程的弧长公式曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：例3求摆线xa(qsinq),ya(1cosq)的一拱(02)的长度.解于是所求弧长为曲线yf(x)(axb)的弧长：弧长元素为设曲线弧由极坐标方程()()给出,其中()在[,]上具有连续导数.因为x(q)cosq,y(q)sinq(),所以弧长元素为曲线弧的长为极坐标情形曲线yf