扬州大学高等代数课件(北大三版)--第七章 线性变换.ppt

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时间:2020-04-05

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1、第七章线性变换学时:22学时。教学手段:讲授和讨论相结合,学生课堂练习,演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的:基本内容:线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵;特征值与特征向量;对角矩阵;线性变换的值域与核;不变子空间;若当标准形;最小多项式。教学目的:1、理解线性变换的定义与运算。2.掌握线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念。3.了解线性变换的值域与核、不变子空间。4.熟悉若当标准形、最小多项式。本章的重点和难点:重点:线性变换的定义与运算,线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念

2、;难点:若当标准形、最小多项式。§7.1线性变换的定义一.线性变换的定义及实例定义1映射A:V→V称为线性空间V上的一个变换;V上的变换A称为线性变换,如果对任意的α,β∈V,对任意的k∈P,1)A(α+β)=A(α)+A(β);2)A(kα)=kA(α).本教材一般用花体拉丁字母A,B,···表示线性变换;称如上条件1),2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”;注意与同构映射f:V→W(V,W为线性空间)的异同之处。例1Sθ:V2→V2,Sθ(α)=α/(α按逆时针方向旋转θ度得α/),(即二维

3、平面上的旋转变换)。 设α,α的坐标分别是(x,y),(x/,y/),则.可以证明,Sθ是二维平面V2上的一个线性变换。证明:对任意的α,β∈V2,设α+β=γ(如图)Sθ(α+β)=Sθ(γ)=γ/=α/+β/=Sθ(α)+Sθ(β),Sθ(kβ)=kβ/=kSθ(β).故Sθ是V2上的线性变换.αγθβkβα/γ/β/kβ/ζkeα例6设V是数域P上的线性空间,k∈P,定义V上的变换为α→kα(对任意的α∈V),可以证明该变换为线性变换,称为由数k确定的数乘变换,并用K表示.当k=1时,即为恒等

4、变换,当k=0时,即为零变换.证明:K显然是V上的变换.现仅证其为线性变换.对任意的α,β∈V,a∈P,K(α+β)=k(α+β)=kα+kβ=K(α)+K(β);K(aα)=k(aα)=(ka)α=a(kα)=aK(α).故K是V上的线性变换.□二.线性变换的基本性质A(aα+bβ)=aA(α)+bA(β);2A(0)=0,A(-α)=-A(α);3.A(k1α1+···+krαr)=k1A(α1)+···+krA(αr);(保持线性关系不变)4.α1,···,αr线性相关,则Aα1,···,Aα

5、r线性相关.反之,则不一定.例如零变换A(α)=0(α≠0).证明:1.A(aα+bβ)=A(aα)+A(bβ)=aA(α)+bA(β).2.A(0)=A(0α)=0A(α)=0.A(-α)=A((-1)α)=(-1)A(α)=-A(α).据1,易证该等式成立.据题设,存在不全为0的数k1,···,kr∈P,使得k1α1+···+krαr=0→据3.,2.可知A(k1α1+···+krαr)=k1A(α1)+···+krA(αr)=A(0)=0,即Aα1,···,Aαr线性相关.性质3说明:设β=k

6、1α1+···+krαr→A(β)=A(k1α1+···+krαr)=k1A(α1)+···+krA(αr),即β与A(β)具有相同的线性关系.性质1可修改为如下命题:5.A是线性变换的充要条件是:A(aα+bβ)=aA(α)+bA(β)对任意的αβ∈V,a,b∈P.证明:必要性:即性质1.充分性:取a=b=1,则A(α+β)=A(α)+A(β);取a=k,b=0,则A(kα)=A(kα+0β)=kA(α)+0A(β)=kA(α),故A是线性变换.□7.2线性变换的运算L(V)={A│A:V→V的线

7、性变换}A:V→V是线性空间V上的一种运动,变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算,联系及进一步的特征性质。VL(V)一.L(V)上的加法运算定义1对任意的A,,B∈L(V),α∈V,规定(A+B)(α)=A,(α)+B(α)称为A,与B的和,记为A+B.命题1对任意的A,,B,C∈L(V)A+B∈L(V),且具有如下性质:(A+B)+C=A+(B+C);2.A+B=B+A;3.存在O∈L(V),O+A=A;对任意的A∈L(V),存在-A∈L(V),A+(-A)=O.据4,可定义A-B=A+(-

8、B),故L(V)中有加法的逆运算:减法运算.证明:首先要证明A+B∈L(V),即证明A+B是V上的变换;且对向量加法和数乘保持不变.二.L(V)上的乘法运算定义2对任意的A,,B∈L(V),α∈V,规定A,B(α)=A,(B(α))称A,B是A,与B的积,记为A,B.A,与B的乘法即映射的合成.命题2对任意的A,,B,C∈L(V)A,B∈L(V),且具有如下性质:5.(A,B)C=A,(BC);6.A,(B+C)=A,B+A,C;7.(B+C)A,=BA,+CA,;8

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