复变函数论第三版钟玉泉PPT第四章.ppt

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1、第一节复级数的基本性质2、复数项级数3、复函数项级数4、解析函数项级数1、复数列的极限第四章解析函数的幂级数表示7/25/202111.复数列的极限定义记作复数列收敛的条件7/25/20212那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证从而有所以同理反之,如果从而7/25/20213下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.例1解定理：复数列收敛的Cauchy准则7/25/202142.复数项级数的收敛与发散定义表达式称为复数项级数.称为级数的部分和.若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,即则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成否则若复数列sn(n=

2、1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.7/25/20215定理4.1设n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:分别收敛于a及b.复数项级数收敛的条件实数项级数注：复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数的审敛问题分别收敛于a及b例1级数是否收敛？例2级数是否收敛？7/25/20216推论2收敛级数的各项必是有界的.推论1收敛级数的通项必趋于零:(事实上，取p=1,则必有

3、an+1

4、<ε)．推论3若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原级数同为收敛或同为发散.定理4.2(Cauchy准则)复级

5、数(4.1)收敛的充要条件为:对任给ε>0,存在正整数N(ε),当n>N且p为任何正整数时

6、n+1+n+2+…+n+p

7、<ε7/25/20217定理4.3复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数收敛.定义4.2若级数收敛,则原级数称为绝对收敛;若级数发散，而级数收敛,原级数称为条件收敛.3.绝对收敛与条件收敛事实上，7/25/20218定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.它收敛于.(2)两个绝对收敛的复级数可按对角线法得到乘积级数例2级数是否绝对收敛？例1级数绝对收敛,且有解因为7/25/20219定义1设复变函数项序列f1(z

8、)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，…(*)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)为序列(*)的极限函数,记为:4.一致收敛的复函数项序列定义2对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对一切的z∈E均有

9、f(z)-fn(z)

10、<ε,则称序列(*)在E上一致收敛于f(z)，记作:.7/25/202110定义4.3设复变函数项级数f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对

11、于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:5.一致收敛的复函数项级数定义4.4对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对一切的z∈E均有

12、f(z)-sn(z)

13、<ε,则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z)，记作:，其中7/25/202111定理4.5(柯西一致收敛准则)级数(4.2)在点集E上一致收敛于某函数的充要条件是:任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),使当n>N时,对于一切z∈E,均有

14、fn+1(z)+…+fn+p(z)

15、<ε(p=1,2,…).Weierstra

16、ss优级数准则:如果整数列Mn(n=1,2,…),使对一切z∈E,有

17、fn(z)

18、≤Mn(n=1,2,…),而且正项级数收敛,则复函数项级数在点集E上绝对收敛且一致收敛:这样的正项级数称为函数项级数的优级数.7/25/202112定理4.6设级数的各项在点集E上连续,并且一致收敛于f(z),则和函数也在E上连续.定理4.7设级数的各项在曲线C上连续,并且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:7/25/202113定义4.5设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此级数在D内内闭一致收敛.定理4.8设级数(4.2)在圆K:

19、z-

20、a

21、

22、z-a

23、≤ρ上一致收敛.7/25/202114定理4.9设(1)fn(z)(n=1,2,…)在区域D内解析,级数则(1)f(z)在区域D内解析6.解析函数项级数或序列在区域D内内闭一致收敛于函数f(z),证（1）设　　　　，若　　为Ｄ内任一围线，则由柯西积分定理得由定理4.7得于是，由摩勒拉定理知，f(z)在