微分方程的经典模型.ppt

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1、第6章微分方程模型在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科的许多系统中，有时很难找到该系统有关变量之间的函数表达式，但却容易建立这些变量的微小增量或变化率之间的关系式，这个关系式就是微分方程模型。前面的章节可以看到在很多问题的数学建模中或多或少都涉及到微分方程的概念和理论，这不足为怪，因为微分方程本身就是处理带有涉及变化率或增量特征的问题。微分方程模型6.1微分方程模型的建模步骤6.2作战模型6.3传染病模型习题6.1微分方程模型的建模步骤例1某人的食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本的新陈代谢（即自动消耗）

2、。在健身训练中，他每天大约每千克体重消耗69焦的热量。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1千克脂肪含热量41868焦，试研究此人的体重随时间变化的规律。模型分析问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数，我们就能找到一个含有的微分方程。？模型假设1.表示时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为；2.关于连续而且充分光滑；3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。模型建立

3、对于“每天”：体重的变化=W=输入-输出体重的变化/天==输入/天—输出/天代值：输入/天=10467—5038=5429（焦/天）输出/天=69×=69（焦/天）输入/天—输出/天=5429-69W（焦/天）考虑单位的匹配，利用单位转换公式“1千克=41868焦”，有增量关系（焦/天）取极限并加入初始条件，得微分方程模型模型求解结果模型讨论此人的体重会达到平衡吗?显然由的表达式，当时，体重有稳定值直接由模型方程来回答这个问题。在平衡状态下，是不发生变化的，所以。这就非常直接地给出了根据规律列方程微元分析法。模拟近似法。建立微分方程模

4、型方法6.2作战模型问题的提出影响一个军队战斗力的因素是多方面的，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。模型分析甲乙两支部队互相交战，在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的诸多因素转化为数量非常困难。为此，我们作如下假定把问题简化。？模型假设1.x(t),y(t)表示甲乙双方在时刻t的人数，x(0)=x0,y(0)=y0分别表示甲乙双方在开战时的初

5、始人数，x0>0,y0>0；2.设x(t),y(t)是连续变化的，并且充分光滑；3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y),g(x,y)分别表示甲乙双方的战斗减员率；4.每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数分别对应甲乙双方；5.每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以u(t),v(t)表示。模型建立根据假设得到一般的战争模型正规作战模型模型假设1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；2.甲乙双方均以正

6、规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。正规作战模型因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比例关系，以b、a分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力，称为战斗有效系数。以rx、ry分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以px、py分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有模型建立正规作战数学模型的一般形式由假设2，甲乙双方的战斗减员率分别为于是得正规作战的数

7、学模型模型求解借助微分方程图解法求解。注意到相平面是指把时间t作为参数，以为坐标的平面，而轨线是指相平面中由方程组的解所描述出的曲线。借此可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。其中求解轨线方程。将模型方程的一式除以二式，得到用分离变量法得该模型的解图6-1平方律的双曲线战争结局分析模型解确定的图形是一条双曲线，箭头表示随着时间的增加，、的变化趋势。而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投降或被歼灭）的一方为败。因此，如果，则乙的兵力减少到时甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知，时，甲方获胜。而当时，双方战平。甲方

8、获胜的充要条件为代入a、b的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为故可找到一个用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数：式中Z表示参战方的初始人数，可以取甲方或乙方。综合战斗力的评价函数暗示参战方的综合战斗力