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1、第九节函数单调性与曲线凹凸性的判别法本节要点本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性的判别法数的单调性及曲线的凹凸性.一、函数单调性的判别法1.问题的提出设函数如果函数负,即如果函数在在上单调增加,则曲线的图形是一条沿轴正向逐渐上升的曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非ab同样,由导数的定义及极限的保号性,上单调减少,则曲线的图形是一条沿轴正向逐下降的曲线,因而曲线上各点处的切线斜率非正,即由此可见,函数的单调性与其导函数的符号有密切的关系.我们可证明:ab若可导函数在区间上单调增加（减少）,反之,我们有定理（函数单
2、调性的判别法）若⑴若有且则:⑵若有则对任意的有则在上单调增加;则在上单调减少.证仅证⑴.则由拉格朗日中又因:故由此说明函数是单调增加的.值定理,得例1判定函数解因我们知道,函数是的单调性.所以是单调增加的.单调增加的,但此说明一个单调增加的函数,其导函数可能有若干个零点.作为一般结论,我们有定理若函数在区间上可导,且在例2设则所以,函数在任何一个有限区间仅有有限个驻点,由的任何一个有限区间内仅有有限个零点,则是单调增加的.上面的定理知函数是单调增加的.水平切线例3讨论函数解因所以当即的单调性.是单调减少的;当增加的.即函数是单调可以将函数的导数符号及单调性按
3、区间分段列表注此例说明了如何去讨论函数的单调性:若函数点点可导,则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调区间.但若函数在某些点不可导,则此方法不再适用.例4求函数解函数的定义域为并且在区间当从而将定义域分成三个区间:当因而函数单调增加;的单调区间.内连续.的导数为当因而函数单调减少;当因而函数单调增加.将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:单调下降单调上升结合上面的两个例子,我们得到求函数单调区间的一⑴确定函数的定义域;⑵求出函数的一阶导函数,并求出函数的驻点及不可⑶根据驻点和导数不存在的点,划分区间,注意到,般方法:导点;导函数在每一个区间内的符号不
4、会改变,从而有确定的单调性.应用:证明不等式.例5证明当时,有证令所以函数在区间中是单调增加的,因而则当时,有注从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的即基本方法.问题证明当时有:方法⑴构造函数⑵验证从而函数在⑶由此得到:当时,有在中连续,可导;且函数给定的区间上单调增加;即例6证明证令所以所以在上单调增加,从而且由此即得二、曲线的凹凸性及判别法考察右图中的曲线,注意到即设点与点曲线是向下凸的,即任取曲线上两点,那么连接这两点的弦总位于这两点间的弧段的上方.是曲线上任意两点,那么介于之间的中点的函数值满足由此我们引入曲线凹凸性的定义.定义设函数在区间中连续
5、，如果对任意的则称曲线在区间内是下凸的（或称凹弧）.都有如果对任意的都有则称曲线在区间内是上凸的（或称凸弧）.上下凸性,则称点如果函数的图形在经过点时改变了的一个拐点.是曲线曲线凹凸性判别法1设且导函数在内单调增加（减少）,那么曲线在内是下凸（上凸）的.证设单调增加,任取，记由微分中值定理从而证明了曲线是下凸的.即有如下的:更进一步地,如果函数在区间有二阶导数,则如果则曲线在内是下凸的；我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性.曲线凹凸性判别法2如果则曲线在内是上凸的.例7对函数因由判别法知曲线在定义域内是下凸的;再对函数因知曲线在定义域内是上凸的.例
6、8设函数解当时,当时而当时,二阶导数不存求曲线的凹凸区间.在,从而将函数的定义域划分成三个区间:将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下:当当当从而点是曲线的拐点,而不是曲线曲线如下图所示.曲线是上凸的;的拐点.曲线是下凸的;曲线是下凸的.图形经过下列点:利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式.例9设是任意两个正数,证明不等式证设函数故曲线是下凸的，所以对即故不等式得证.
