北师版 八年级的数学下册 4.1 角平分线.ppt

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1、4.1角平分线义务教育教科书(北师大版)八年级数学下册第一章三角形的证明什么叫角平分线?角平分线上的点有什么性质?你是怎样得到的?你能证明吗?知识回顾ABC情境引入角平分线性质定理的逆命题是什么?是真命题吗?你能证明吗?(请写出已知、求证、证明)定理:已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE自主预习角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。OCB1A2PDEOCB1A2PDE证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°,∵∠1=∠2,PO=PO,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应

2、边相等).已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE1定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离_____。老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,∵OC是∠AOB的平分线,,,(已知)∴PD=PE().OCB1A2PDE几何语言反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?你能写出这个定理的逆命题吗?想一想已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD=QE.求证:点Q在∠AOB的平分线上.证明:∵QD⊥OA,QE⊥OB(已知),∴∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义)

3、.在Rt△PDO和Rt△PEO中,∵QD=QE(已知),QO=QO(公共边),∴△QDO≌△QEO(HL).∴ ∠QOD=QOE(全等三角形的对应角相等).∴点Q在∠AOB的平分线上.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离___的点,在这个角的上.如图,∵PD=PE,,___(已知),∴点P在∠AOB的平分线上().老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.OCB1A2PDE几何语言例1已知:如图,在△ABC中,点D在BC上,AD=10,且DE=DE,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求DE的长.ABCDEF小组合作完成。1.动手用尺规画出一个角的平分

4、线; 2.说明为什么是角平分线的理由。如何作角的平分线?想一想已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.ABOCDE用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=.2.分别以点D和E为圆心,以大于__长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C..3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.ABOC则射线OC就是∠AOB的平分线.DE作法:1.如图(1),AD平分∠BAC,点P在AD上,若PE⊥AB,PF⊥AC,则PE_______PF.2.如图(2),PD⊥AB,PE⊥AC,且PD=PE,连接AP,则∠BAP_____∠CAP.3.

5、如图(3),∠BAC=60°,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,若AD=______,则PE=__________.随堂练习==14.已知,如图(4),∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,若CD=CE,则∠COD+∠AOB=__________度.5.如图(5),已知:OM是角POQ的平分线,MP⊥OP于P,MQ⊥OQ于Q,S△QOM=3cm2,OP=3cm,则MQ=__________cm.90°26.如下图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如下图,已知

6、AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上,以上结论中,正确的是()A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①、②与③BD知识梳理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2.在一个角的内部,且到角的两边距离___的点,在这个角的上.路是脚踏出来的,历史是人写出来的。人的每一步行动都在书写自己的历史。--吉鸿昌结束语

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