高数讲座-线面积分选讲.pdf

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1、一.第一类线面积分的简化充分利用积分曲线与曲面的方程与对称性.222222例.求Ixyxyxyds,其中Lx:y11.L解.Iy2y2yds22yds22ds222.LLL222xyz1例.求Ixyzds,其中:.xyz012解.Ixydsxydsxyyzzxdsxyzds331222211xyzxyzds0ds.66322

2、2xyz1注.求Ix2y3zds,其中:.xy03解.Ix2y3zds3xds3zdsxyds00.22例.求222Ix2y3zdS,其中:xyz2y.解.22222222Ix2y3zdS4x2ydS2x2y2zdS4ydS4y1dS4dS16.二.第二类线面积分的估值3xacostydxxdy例.设L:0t2,逆时针方向,Fa

3、,32yasintx2xyy2L证明:limaFa0.ayx解.设P,Q,则FaPdxQdy222222xxyyxxyyL1222222PQeds,nPQdsmaxPQds6amaxPQ,而LLL222222xy22xy432xxyy,得PQ,故2332x2xyy2222axy192Fa,因此limaFa0.2aa22例.设为圆柱体xxyy41z3的外表面,证明:002

4、2.cosxydydzsin2xydzdxdxdy163证.AdSAedSAedSAdS3dS,证毕.nn注.第二类线面积分的估值除了转化为第一类线面积分,也可以用格林公式和高斯公式转化为重积分.2222例.设Lx:yxy0,逆时针,证明:xcosydyysinxdx.L22222证.左式cosysinxdcosxsinxd2,证毕.2DDsinysinx22xedyyedx2例.设Lx:y1,逆时针

5、,证明:.225x4y5Lsinysinxsinysinxsinysinxxeyeeeee证.左式dydxd22225yx45yx45LDD1sinxsinx22eedd,即得,证毕.555DD三.第二类线积分的计算xdyydx2例.求I,其中L从A1,0沿y1x到B1,0,然后224xyL再沿直线到D1,2的有向曲线.2xcost解一.AB:,t:0,BDy:x1,x:11,故ysint01dt

6、dx37I;2224costsint5x2x12881QP解二.由于,故取C1,1,E1,1,F1,2,则xyI;ACCEEBBFFDQP222解三.除原点,,取C:4xyr,逆时针,则IxyLDADA0xdyydx1dy172dxdy.222CrDAr4x2y2r224y88QP注.若在区域D内,则(1)当D单连通时,PdxQdy0;xyC(2)当D内有洞时,对所有绕洞的闭曲线C,

7、PdxQdy常数.Cyy2x2x例.求Idxdy,22222222L2xy2xy2xy2xy其中22Lx:y9,取逆时针方向.222222解.取L:x2yr,L:x2yr,均为逆时针方向,则12I,而L1L2yy2x2x2dxdyd2,2222222L1L1r2xyr2xyBrr类似地,2,故I224.L2xyz

8、dxyzxdyzxydz例.求I,其中的为曲线222xyz222xyz1上逆时针从A1,0