实函ch2课后习题解答(学生用).doc

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1、实变函数习题集第二章n维空间中的点集§2.1聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理1、判断题(1)对任意集列，有。（×）解不一定，即结论不能推广到可列无穷多个。若，则，；若，则，。(2)设是全体实数，是中的全部有理点，则。（×）(3)设是全体实数,是中的全体有理点,则。（√）2、辨析题(要求：判断命题是否正确，对正确的命题予以简要证明，对不正确的命题举出反例.)(1)设，若是可数集，则是可数集。解正确；，(2)设，则解正确；。3、单项选择设，下述关系中，(B)是正确的。A、B、C、D、4、

2、填空题若且，则是的孤立点。5、构造及计算题(1)设,求。解(2)是中有理点对全体，求。解(3)(P29.3)设,求。.解6、若，则。证明①。下证。法一②反正：若使；，使，则；与矛盾。。法二见本节课件。7(P29.1)、证明(1)的充要条件是对于任意含有的邻域(不一定以为中心)中，恒有异于的点属于(事实上，这样的其实还有无穷多个)。(2)为的内点的充要条件则是存在含有的邻域(不一定以为中心)，使。证明(1)若则对任一含的邻域必有以为中心的邻域，所以存在且即任何含有的邻域中含有一点异于属于。反之，对任一的邻域，当然，

3、从而由题意知，中也有异于的点属于所以。(2)若则有。反之，若，，使，则。§2.2开集、闭集与完备集1、判断题(1)设是连续函数，则对任意开集，是开集。(×)(2)康托三分集没有孤立点。（√）(3)闭集列的交集为闭集。（√）(4)开集列的并集为开集。（√）2、辨析题(要求：判断命题是否正确，对正确的命题予以简要证明，对不正确的命题举出反例.)(1)设，若是稠密集，则是无处稠密集。解错误；例如：有理点集是稠密集，但其余集不是无处稠密集。3、单项选择(1)下列断言(B)是正确的A、任意个开集的交是开集B、任意个闭集的交

4、是闭集C、任意个闭集的并是闭集；D、以上都不对；4、利用开集的定义证明：是闭集，则是开集。证明满足即的每一个点都是它的内点，从而是开集。5、设，且既是开集又是闭集，则。证明；对任意的特别是对，。6(P35.12)、设是上的实函数，证明：是连续函数的充分必要条件是对任意开集，是的开集。证明若为连续函数，则，若，则自然是开集；，则，即。，。而，则，有。反之，且对，必存在。，。7、以为例证明有界闭集上所定义的连续函数都是有界的。证明不妨设为有界闭集上的连续函数，下证，，有。(其中)，。。因此，有。8(P35.1)、证明

5、点集为闭集的充要条件是。证明若是闭集，则因此若则因此是闭集。9(P35.2)、设是上的实值连续函数，证明对于任意常数a，都是开集，都是闭集。证明若则。因为是连续的，所以存在使任意，就有，即对任意就有所以，即为的内点，从而是开集。若且则。因为是连续的，则即则是闭集。10(P35.4)、设是一有界闭区间，都是的闭子集，证明如果，则必有正整数使得。证明，所以。有限覆盖定理知必存在，使得。因为，所以。另一方面，，所以，从而。11(P35.9)、证明对任意，都是中包含的最小闭集。证明显然。若为闭集且则，而则。从而。§2.3

6、p进位表数法(1)叙述Cantor三分集的作法及它的特性。解Cantor三分集的作法：将闭区间均分为三段，删去中间的开区间，剩下两个闭区间，。又把这剩下的两部分都均分为三段，再删去中间的两个开区间，即，如此继续作下去，所有那些永远删不去的点所作成的点集就称为Cantor三分集，它具有以下特性：（至少说出3点）1、是一完备集；2、；3、是不含内点的疏朗集(或称为无处稠密集)；4、。(2)E表示Cantor集的一切有限余区间的中点所成的集合，试求出E的导集。解。这是因为Cantor集是无处稠密的完备集，从而它的余集是

7、稠密集(可证明)；而E仅由Cantor集的有限余区间组成，故。§2.4一维开集、闭集与完备集的构造1、判断题(1)(P42.4)设W是直线上开集的全体所成之集，则。（√）解证明见本节第3题。(2)(P42.4)设是直线上闭集的全体所组成的集合，则。（√；）解证明见本节第3题。(3)(P45.2)中的开集必是型集。（　√　）（可表示成可数多个闭集的并）解证明见第5节第4题。(4)(P45.2)中的闭集必是型集。(√)（可表示成可数多个开集的交）解证明见第5节第4题。(5)(P42.1)无理数集是型集。（×；）(中全

8、体无理数所构成的集是型集，不是集)解无理数集是型集，不是集。因为。(6)(P42.1)有理数集是型集。（√；）(中全体有理数所构成的集是型集，不是集)解无理数集是型集，不是集。因为，为单点集，从而为闭集。(7)型集一定为开集。（×；）(8)型集合一定为闭集。（×；）(9)直线上的任何闭集可表为有限个或可数个互不相交的闭区间之并。（×）。2、填空题(1)直线上的闭集是全直线