定积分的几何应用(体积)).ppt

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1、一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积三、小结定积分的几何应用---体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积xyo旋转体的体积为解星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为内摆线)星形线t或例2.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注:分部

2、积分(利用“偶倍奇零”)利用这个公式，可知上例中补充1.(※)——柱壳法如果旋转体是由连续曲线)(xfy=、直线ax=、bx=及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为偶函数奇函数注：解(一)体积元素为（二）利用坐标平移：（※）uv补充2.(※)——柱壳法如果旋转体是由连续曲线)(xfy=、直线ax=、bx=及x轴所围成的曲边梯形绕x=m(>b)旋转一周而成的立体，体积为二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分

3、来计算.立体体积解:取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:三、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:注：侧面积元素若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的注意:侧面积为的线性主部.不是薄片侧面积△S例5.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h2R时,得球的表面积公式旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕

4、轴旋转一周绕轴旋转一周绕垂直于坐标轴的直线旋转一周旋转体的侧面积(补充)四、小结.解：交点立体体积思考与练习.2.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法故3.设平面图形A由与所确定,求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.由柱壳法旋转体的体积为若选y为积分变量,则4.求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(1994考研)解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限3ABC21