微分几何曲面局部理论.ppt

《微分几何曲面局部理论.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、微分几何2011.04--06讲师沈玉萍第二章曲面：局部理论第一节参数曲面和第一基本形式第二节Gauss映射和第二基本形式第三节G-C方程和曲面基本定理第四节协变微分，平行移动和测地线第二章曲面：局部理论第二节Gauss映射和第二基本形式定义给定正则参数曲面，单位法向量对应的映射称为曲面的Gauss映射。第二章曲面：局部理论曲面的很多几何性质体现在其Gauss映射中，例如平面的切平面不变，Gauss映射为常值函数；圆柱的切平面沿着母线不变，则Gauss映射将圆柱面映射到球面的一个圆周上；圆心在原点的球面，Gauss映射就是位置向量的单位化。第二章曲面：局部理论思路：曲面在点的形状，可以由曲面上

2、经过点的曲线的曲率来描述。第二章曲面：局部理论定义在点由单位切方向和单位法向量决定的平面称为曲面在点由此切方向确定的法截面。法截面与曲面的交线称为曲面在点的一条法截线。假设某条法截线由弧长参数表示则它在点的主法向量为，曲率第二章曲面：局部理论命题对任意切向量，的方向导数仍然是切向量。由此定义的映射是一个对称的线性映射，即我们称为曲面在点的形状算子，或者Weingarten映射。第二章曲面：局部理论证明假设法截线有弧长参数表示考虑到是单位向量，满足所以成立。另外关于向量自然是线性的。第二章曲面：局部理论利用向量函数的混合偏导来证明当时满足:对于，都可以写成和的线性组合，容易验证对称性成立。■第二

3、章曲面：局部理论命题如果曲面任意一点的形状算子都是零，则是平面（的一部分）。证明由于那么对于点附近的任意一个正则参数表示有由连通性可以得出是常向量，即曲面是平面。■第二章曲面：局部理论例1是半径为，中心在原点的的球面，则在局部参数表示下Gauss映射为它的形状算子满足所以它在每点切平面上都是的数量线性变换。第二章曲面：局部理论对于一般的曲面，我们不容易直接写出形状算子在切平面的局部标架下的矩阵形式。但是形状算子的关于内积的对称性诱导我们定义曲面的第二基本形式特别的对于第二章曲面：局部理论在点邻域上的有正则参数表示，有自然的基底，我们定义曲面的第二类基本量第二章曲面：局部理论曲面的第二基本形式局

4、部参数表示下有对称矩阵形式类似第一基本形式，我们得到曲面的第二基本形式的二次微分形式第二章曲面：局部理论如果是单位正交标架，则矩阵就是形状算子。但是一般情形下，有矩阵表示作为实对称矩阵，可以对角化，它有两个实特征值，记为和。第二章曲面：局部理论定义曲面在点处的形状算子的特征值称为曲面在此点的主曲率；对应的特征方向称为主方向。如果曲面上的曲线每一点的切方向都是主方向，那么这条曲线称为曲率线。曲面在任意点的两个主方向是正交的，于是我们可以选择了切平面的一个正交基底恰好由主方向向量构成。第二章曲面：局部理论定理（Euler公式）令为曲面在点的单位主方向，分别对应主曲率和。假设切向量，其中。则证明：略

5、。第二章曲面：局部理论注意到球面在任意一点的任意方向的法截线都有相同的（非零）曲率；下图马鞍面的有些法截线恰好是直线。第二章曲面：局部理论定义如果曲面切向量确定的法截线点处的曲率为零，即我们称为在点的一个渐近方向。如果曲面上的曲线每一点的切方向都是渐近方向，那么这条曲线称为渐近线。如果曲面包含直线，则直线为渐近线。第二章曲面：局部理论推论曲面在点处有渐近方向当且仅当证明首先当且仅当是渐近方向。然后不妨设。如果，那么反过来，由，我们很容易构造渐近方向。第二章曲面：局部理论例2如图所示圆柱螺面是一个直纹面，它所有的直母线明显都是渐近线。另外，不太明显的，其上的一族圆柱螺线也都是渐近线。第二章曲面：

6、局部理论事实上，如右图所示，在点处的沿圆柱螺线单位切向量的法截线在点为拐点。因此，圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近线。具体计算为作业。第二章曲面：局部理论假设为曲面上一条弧长参数曲线，满足那么由之前的计算得到它给出了曲线的曲率向量在曲面的单位向量上的投影，我们称它为在点处的法曲率，记为。第二章曲面：局部理论（Meusnier公式）假设为曲面上在点的单位切向量为的一条曲线，则其中为曲线主法向量和曲面单位法向量的夹角。曲面上曲线在某一点的法曲率只取决于此点的切向量。渐近线的法曲率处处为零。第二章曲面：局部理论主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假设，则由Euler公式得法曲率的最大值和最小值出现在互相正

7、交的方向上。第二章曲面：局部理论下面我们介绍曲面理论中极其重要的一些概念。定义曲面在点处的两个主曲率的乘积称为在点的Gauss曲率；主曲率的平均值称为在点的中曲率（平均曲率）。第二章曲面：局部理论定义曲面在点处的主曲率满足则称为点为曲面的脐点。特别的，称为平点。如果，且不是平点，则称为抛物点；如果，则称为椭圆点；如果，则称为双曲点。第二章曲面：局部理论例3环面的外侧均为椭圆点，上下圆周为抛物点，内