离散数学第十六章课件.ppt

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1、第十六章树主要内容无向树及其性质生成树根树及其应用116.1无向树及其性质定义16.1(1)无向树——连通无回路的无向图(2)平凡树——平凡图(3)森林——至少由两个连通分支（每个都是树）组成的无向图(4)树叶——1度顶点(5)分支点——度数2的顶点2无向树的等价定义定理16.1设G=是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1)G是树(2)G中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3)G中无回路且m=n1.(4)G是连通的且m=n1.(5)G是连通的且G中任何边均为桥.(6)G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个

2、含新边的圈.3由上式解出x2.定理16.2设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶.无向树的性质证设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，4例题例1已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数.解解本题用树的性质m=n1，握手定理.设有x片树叶，于是n=1+2+x=3+x,2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x解出x=3，故T有3片树叶.5例2已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶点的度数均为4，求T的阶数n例题解设T的阶数为n,则边数为n1，4度顶点的个数为n7.由握手定理得2m=2(n

3、1)=51+21+31+4(n7)解出n=8，4度顶点为1个.6子图定义14.8G=,G=(1)GG——G为G的子图，G为G的母图(2)若GG且V=V，则称G为G的生成子图(3)若VV或EE，称G为G的真子图(4)V（VV且V）的导出子图，记作G[V](5)E（EE且E）的导出子图，记作G[E]在图中，设G为(1)中图所表示，取V1={a，b，c}，则V1的导出子图G[V1]为(2)中图所示。取E1={e1，e3}，则E1的导出子图G[E1]为(3)中图所示。7不一定连通，也不一定

4、不含回路，如图所示定义16.2设G为无向图(1)G的树——T是G的子图并且T是树(2)G的生成树——T是G的生成子图并且T是树(3)生成树T的树枝——G的在T中的边(4)生成树T的弦——G的不在T中的边(5)生成树T的余树——T的所有弦的导出子图16.2生成树8推论2的边数为mn+1.推论3为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与一定有公共边.证否则，C中的边全在T中，这与T为树矛盾.定理16.3无向图G具有生成树当且仅当G连通.生成树存在条件推论1G为n阶m条边的无向连通图，则mn1.证必要性显然.充分性用破圈法（注意：在圈上删除任何一条边，不破坏连通

5、性）由定理16.3和树的边数等于顶点数减1可立即得到下述推论。9基本回路系统定理16.4设T为G的生成树，e为T的任意一条弦，则Te中含一个只有一条弦其余边均为T的树枝的圈.不同的弦对应的圈也不同.证设e=(u,v)，在T中u到v有惟一路径，则e为所求的圈.定义16.3设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成树，设e1,e2,…,emn+1为T的弦.设Cr为T添加弦er产生的只含弦er、其余边均为树枝的圈.称Cr为G的对应树T的弦er的基本回路或基本圈，r=1,2,…,mn+1.并称{C1,C2,…,Cmn+1}为G对应T的基本回路系统，称m

6、n+1为G的圈秩，记作(G).求基本回路的算法：设弦e=(u,v)，先求T中u到v的路径uv，再并上弦e，即得对应e的基本回路.10Ca=aefCb=bdeCc=cdf此图的圈秩为3，基本回路系统为：{Ca,Cb,Cc}基本回路系统在下图中，对应生成树的弦a，b，c的基本回路为：11基本割集的存在定理16.5设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同.证由定理16.1可知，e是T的桥，因而Te有两个连通分支T1和T2，令Se={e

7、eE(G)且e的两个端点分别属于V(T1)和V(T2)}，

8、由构造显然可知Se为G的割集，eSe且Se中除e外都是弦，所以Se为所求.显然不同的树枝对应的割集不同.12定义16.4设T是n阶连通图G的一棵生成树，e1,e2,…,en1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei的割集，则称Si为G的对应于生成树T由树枝ei生成的基本割集，i=1,2,…,n1.并称{S1,S2,…,Sn1}为G对应T的基本割集系统，称n1为G的割集秩，记作(G).基本割集与基本割集系统求基本割集的算法设e为生成树T的树枝，Te为两棵小树T1与T2，令Se={e

9、eE(G)且e的两个端点分别属于T1与T2}