小学奥数经典专题点拨扩缩图形.pdf

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1、扩缩图形【扩图】解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。例如，图4.43是一个圆心角为45°的扇形，其中的直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分的面积。本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。但是同学们暂时还未学求扇形半径R的方法，怎么办呢？由扇形的圆心角为45°，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。由此图可以求出三角形DOB的面积为可知扩大后的阴影部分面积为56.52-72÷25=6.52-36=20.52（平方厘米）所以，原图所求的阴影部分的面积为20.52÷2=10.26（平方厘米）这是个将图形整体扩大的例子。可否只将图形的某一

2、个局部扩大，来求得问题的解答呢？回答是肯定的。例如：如图4.45，图中的扇形半径为8厘米，圆心角为45°，求阴影部分的面积。当然，这道题也可以将整个图形扩大一倍，去寻找答案。不过，解题的关键是求出空白部分（三角形）的面积，我们不妨以8厘米为边长，作一个正方形，这正方形面积便是空白三角形面积的4倍（即只将局部三角形面积扩大4倍）。于是空白的三角形面积便是8×8÷4=16（平方厘米）所要求的阴影部分的面积便是【缩小研究对象】有些图形从整体上研究，由于图形较为复杂，难以一下子解决问题，若根据图形特点，缩小研究范围，往往能较快地找到答案。例如，图4.46是一块黑白格子布，白色大正方形边长10厘米，白色

3、小正方形边长4厘米。这块布的白色部分的面积占总面积的百分之几？图形令人眼花缭乱，增大了解题时的难度。不过，仔细一看，就可发现它由9块形状大小相同的图形组成，我们只要研究其中一个小图形（如图4.47）的白色图形占整个图形的百分之几，就足以解决问题了，所以，题目的解答可以是（10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］=116÷196≈0.592=59.2％。又如，图4.48是一个对称图形。问：图中的黑色部分与阴影部分比较，是黑色部分的面积大，还是阴影部分的面积大？因它是个对称图形，可如图中虚线那样画两条直线，将它平分为四个部分。解题时，我们不必研究整个图形，只要研究它的四分之一就行了。角

4、扇形的面积。再由对称关系可知，图形中两个空白部分的大小是相等的，故用图中的上半部分减黑色部分所得的空白部分，等于下面半圆面积减“卵叶形”阴影部分所得的空白部分。在这一等式中，既然被减数和差都相等，那么减数（黑色部分和叶形阴影部分）也必定是相等的。于是可推出，整个图形的黑色部分和阴影部分的面积，也必定是相等的。