高中数学不等式经典例题.pdf

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1、典型例题一例1解不等式x+1>2x−3−2⎧a(a≥0)分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a=⎨，将不等式中⎩−a(a<0)的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．3解：令x+1=0，∴x=−1，令2x−3=0，∴x=，如图所示．[来源:Z。xx。k.Com]2（1）当x≤−1时原不等式化为−(x+1)>−(2x−3)−2∴x>2与条件矛盾，无解．3（2）当−1−(2x−3)−

2、2．23∴x>0，故0时，原不等式化为23x+1>2x−3−2．∴x<6，故有解的条件为<3，即22a>1；当

3、3≤x≤4时，得(4−x)+(x−3)1；a+7a+7当x>4时，得(x−4)+(x−3)4∴a>1．22以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1．解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA+PB1时，x−4+x−3

4、2M2a分析：根据条件凑x−a,y−b．证明：xy−ab=xy−ya+ya−abεε=y(x−a)+a(y−b)≤yx−a+a⋅y−b0，∴只需证明a−b≥a−ab，两边同除b，即只需证明[来源:Z§xx§k.Com]222a−baa≥−，即22bbba2a2a()−1≥()−bbbaa2a2a2aa当≥1时，()−1=()−1≥()−；当<1时，bbbbbba−b<0，原不等式显然成立．∴原不等式成立

5、．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：2222a−ba−bb≥=a−⋅baaaa（1）如果≥1，则a−b≤0，原不等式显然成立．bbbb（2）如果<1，则−>−b，利用不等式的传递性知a−，b>a−b，∴aaa原不等式也成立．[来源:学#科#网]典型例题五a+bab例5求证≤+．1+a+b1+a1+b分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．x1+x−11证明：设f(x)===1−．1+x1+x1+x定义域为｛xx∈R，且x≠−1｝，

6、f(x)分别在区间(−∞,−1)，区间(−1,+∞)上是增函数．[来源:Z&xx&k.Com]又0≤a+b≤a+b，∴f(a+b)≤f(a+b)a+ba+babab即≤=+≤+1+a+b1+a+b1+a+b1+a+b1+a1+b∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：∵a+b≤a+b，1+a+b>0，a+ba+babab∴≤=+≤+．1+a+b1+a+b1+a+b1+a+b1+a1+b错误在不能保证1+a+b≥1+a，1+a+b≥1+b．绝对值不等式a±b≤a+b在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度

7、，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六22(a+1)(a−1)2例6关于实数x的不等式x−≤与x−3(a+1)x+2(3a+1)≤0(a∈R)22的解集依次为A与B，求使A⊆B的a的取值范围．分析：分别求出集合A、B，然后再分类讨论．22(a+1)(a−1)解：解不等式x−≤，22222(a−1)(a+1)(a−1)−≤x−≤，2222∴A={x2a≤x≤a+1,a∈R}．2解不等式x−3(a+1)x+2(3a+1)≤0，[x−(3a+1)](x−2)≤0．1⎧1⎫当a>时（即3a+1>2时），得B=⎨x2≤x≤3a+1,a>⎬．3⎩

8、3⎭1⎧1⎫当a≤时（即3a+1≤2时），得B=⎨x3a+1≤x≤2,a≤⎬．3⎩3⎭1⎧2a≥2,当a>时