四边形知识点与经典例题.doc

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1、第十九章四边形一、基础知识（一）四边形由一般到特殊的演变示意图（二）特殊四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1对边平行且相等。2对角相等，邻角互补。3对角线互相平分1四个角都是直角。2对角线相等。1四条边都相等。2两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。1两腰相等两底平行2同一底上的两角相等3两条对角线相等判定1定义：2判定定理：（1）两组对边分别相等

2、的四边形是平行四边形。（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。1定义：2判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。1定义：2判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。(1)先证明是矩形再证明一组邻边相等。（2）先证明是菱形再证一个角是直角。1定义：先判断是梯形在证明两腰相等。2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3对角线相等的梯形是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形13（三）1．三角形中位

3、线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。二、例题例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：∠BAE=∠DCF.（图1）CABDEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF.∴∠BAE=∠DCF.OABCDEF（图2）例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.证明：∵四边形ABCD

4、是矩形，∴OB=OC.又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90º.∵∠BOE=∠COF.∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.ABCD图3EF例3已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求证：∠BEC=∠CFB.证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.又∵AB=DC，BE=2EA，CF=2FD，∴BE=CF.∵BC=CB，∴△BEC≌△CBF.∴∠BEC=∠CFB.ADBCEF(图6)

5、MN例4如图6，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C.∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.（2）解析：四边形MFNE是平行四边形.13∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边

6、形.评注：本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.图7ABCDEFO例5如图7，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.∵EF是AC的垂直平分线，图8BCDAEF∴OA=OC，∠EOA=∠FOC，EA=EC.∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EA=EC，∴四边形AFCE是菱形.例6如图9，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件

7、）；（2）证明你的结论.解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.ABCD图10EGOF（1）①AE=CF；②OE=OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，即AF=CE.∴△DEC≌△BFA.例7如图10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合