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1、一阶微分方程的初等解法第二章可分离变量微分方程第2.1.1节可分离变量方程设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得则有恒等式则有分离变量方程的解法:分离变量，两端积分分离变量法例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对
2、方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原求下列方程的通解和要求的特解:提示:(2)分离变量练习:(1)分离变量例4.设曲线过点.在曲线上任取和曲线围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线围成的面积的2倍，求曲线的方程.xyo一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴解:xyo两边同时对求导分离变量，积分得可分离变量的方程可化为分离变量的类型第2.1.2节齐次方程第十二章的微分方程称为齐次方程.一、齐次方程的解法作变量代换代入原式可分离变量的方
3、程分离变量，积分后再用代替u,便得原方程的通解.例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量，积分得得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)则例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即(C为任意常数)方程变形为例2.解微分方程解:则有分离变量方程变形为∴原方程还有解：注意到也是方程（1）的解.由得它是原方程的解.由得它也是原方程的解;或令C=0.1求微分方程满足微分方程的通解为解：练习:方程变形为则的特解.2求解微分方程解则例3设有连接点O(0,0)和点A(1,1)的一段向上凸的曲线弧,
4、对于上任意一点P(x,y)，曲线弧与直线段所围图形的面积为,求弧的方程.解：设弧的方程为则所围图形的面积为：积分方程解：设弧的方程为，则两边求导齐次方程依题意得弧的方程为：方程的通解为求微分方程满足微分方程的通解为解：练习:求导，得的特解.例6探照灯反设镜面的形状.在制造探照灯的反射镜面时,总要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.光的反射定律:入射角=反射角可得OMA=OAM=解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,
5、取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM而AO于是得微分方程:(齐次方程)利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面:于是方程化为(齐次方程)可化为分离变量的类型第2.1.2节一种特殊的齐次方程第十二章二.特殊齐次微分方程的解法均为常数.（常数）变形为（c为任意常数）（k为常数）变形为则可分离变量方程设为直线的交点.则方程便可如下转化成齐次方程：即例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:代回原变量,得原方程的通解:例5.解:由(*)原方程可
6、化为于是方程(*)进一步转化为,分离变量:则两边同时积分得:作业P422(1)---(4),3(1),4,6
