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1、一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学最基本的概念.然后给出对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用.§1可微性与偏导数数学分析第十七章多元函数微分学*点击以上标题可直接前往对应内容四、可微性的几何意义及应用定义1设函数内有定义.对于的全增量其中A,B是仅与点有关的常数,§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性与全微分(2)若f在由(1),(2)可见,当充分小时,全微分这里(4)可作为全增量的近似值,在使用
2、上,有时也把(1)式写成如下形式：(3)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用于是有近似公式:后退前进目录退出(2)例1考察解f在点处的全增量为由于§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由一元函数微分学知道:若则现在来讨论:当二元函数在点可微时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此在(4)式中先令§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用偏导数于是容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数类似地,又可得到它是关于y的一元函数二元函
3、数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用定义2存在时,记作(7)§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用则当极限数,关于x的偏导称此极限为类似地可定义关于y的偏导数:记作注1§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用注2在上述定义中,存在对x(或y)上必须有定义.种要求，§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用显然，在定义域的内点处总
4、能满足这而在界点处则往往无法考虑偏导数．若函数在区域D上每一点都存在对x(或对y)的偏导数,对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用记作在D上则得到偏导数的几何意义:的几何图像通常是三维空间中的曲面,曲面相交得一曲线：图17-1§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用点,其中为此曲面上一设它与偏导数的几何意义为:在平面上,曲线C在点P0处的切线与x轴正向所成倾角的正切，可同样讨论偏导数的几何意义.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏
5、导数可微性条件可微性的几何意义及应用图17-1即由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用.是先把别的自变量看作常数,变成一例2于x和关于y的偏导数.求它在x=1的导数,则得再求f在(1,3)处关于y的偏导数.求它在y=3处的导数,又得解先求x的偏导数.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用为此令x=1,得y=3,得令然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数的偏导数.解把依次看成幂函数和
6、指数函数,分别求得通常也可先分别求出关于x和y的偏导函数:§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用把z,x看作常数,得到把x,y看作常数,得到例4求三元函数的偏导数.解把y和z看作常数,得到§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用由可微定义易知:若.“连续是可微的一个必要条件．”此外,由又可得到可微的另一必要条件：§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用可微性条件这表明:定理17.1（可微的必要条件）于是,函数的全微分(2)可唯一地表示为与一
7、元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,微分表达式(1)式中的§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，(8)定理17.1的应用:由于它们分别在都不可导，即故则全微分又可写为§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用对于函数且f在D上的全微分为在原点的可微性．例5考察函数解按偏导数的定义先求出§1可微性与
8、偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用若f在原点可微,则却不存在(第十六章§2例3),f(x,y)在原点不可微.§1可微性与偏导数可微性与全微分偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用然而极限故此以前知道，一元函数可微与存在导数是
