2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)课件：第3章-2.2-最大值、最小值问题.ppt

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1、第三章　导数应用§2　导数在实际问题中的应用2.2　最大值、最小值问题学习目标重点难点1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2.会求某闭区间上函数的最值．3.了解导数在解决实际问题中的作用．4.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.1.重点：会求某闭区间上函数最值及利用导数解决实际生活中优化问题．2.难点：求某闭区间上函数最值.知识点一　函数的最大(小)值与导数思考2结合图像判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？提示：存在f(x3)是函数y＝f(x

2、)的最大值，f(a)是函数y＝f(x)的最小值思考3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？提示：不一定思考4怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？提示：首先求出函数f(x)在[a，b]上的极大值和极小值，然后将函数f(x)的极大值和极小值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条__________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数y＝f(x)

3、在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的__________；(2)将函数y＝f(x)的__________与__________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是__________，最小的一个是__________．连续不断极值各极值端点最大值最小值知识点二　生活中的数学建模1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．2．利用导数解决优化问题的实质是_________________．3．解决优化问题的基本思路是：

4、上述解决优化问题的过程是一个典型的__________过程．优化问题用导数求最值问题数学建模求函数的最值【点评】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部实根x0；(3)将f(x0)的各个值与f(a)，f(b)进行比较，确定f(x)的最大值与最小值．(1)解析：∵f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0，∴函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6.答案：－6已知函数f(x)＝ax3

5、－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[思路点拨]利用导数求出f(x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值．解：显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．已知函数的最值求参数的值①当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：∴当x＝0时，f(x)取得最大值．∴b＝3.又∵f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1

6、)>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取得最小值．即－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：∴当x＝0时，f(x)取得最小值．∴b＝－29.又∵f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)，∴当x＝2时，f(x)取得最大值．即－16a－29＝3，解得a＝－2.综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.【点评】由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出

7、参数的值，这也是方程思想的应用．解析：由已知得f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当－10，则f(x)为增函数；当0

8、使一个星期的商品销售利润最大？生活中的优化问题解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．∵24＝k×22，∴k＝6.∴f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋2