计算方法(9)第七章-数值积分(1).ppt

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1、第七章数值积分与数值微分数值积分是工程师和科学家使用的基本工具之一，用来计算无法解析求解的定积分的近似答案。但在数学上看来已经完善的方法不见得切实可行，例如：数值积分的基本思想数值积分的基本思想7.1牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。一、牛顿—柯特斯求积公式记（1）梯形公式(n=1)梯形公式的几何意义是用四边梯形x0ABx1的面积代替曲边梯形的面积。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1

2、=b（2）辛卜生公式（Simpson）(n=2)(3)n=3为3/8辛卜生公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=b,h=(b-a)/3(4)n=4为Cotes公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=a+3h,x4=b,h=(b-a)/4例1：用梯形公式与辛卜生公式求的近似值。解：辛卜生公式I=0.7668010梯形公式例2：用Newton-Cotes公式计算解：当n取不同值时，计算结果如下所示。I准=0.9460831n近似结果10.927035420.946135930.946110

3、940.946083050.9460830定义7.1二、求积公式的代数精度例3：证明下面数值求积公式具有1次代数精度.所以求积公式具有1次代数精度。例4：设有成立，确定A0、A1、A2，使上述数值求积公式的代数精度尽可能高，并求代数精度。解：分别取(x)=1，x，x2，则有A0+A1+A2=2-A0+A2=0A0+A2=2/3解得A0=1/3，A1=4/3，A2=1/3；取(x)=x3，左=右=0；(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5右=2/3所以具有3次代数精度。其中n+1(x)=(x-x

4、0)(x-x1)...(x-xn-1)(x-xn)即求积公式至少具有n次代数精度。定理：由n+1个互异节点x0、x1、…xn构造的插值型求积公式的代数精度至少为n。这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间,与f(x)无关。显然当f(x)是任何一个不超过n次的多项式时,余项由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点),它的代数精度至少是n,还可以证明当n为偶数时Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1.引进变换x=xn/2+th,-n/2≤t≤n/2xj=a+jh,j=0,1,2,…,nx

5、n/2=a+(n/2)h,积分第二中值定理：三、Newton-Cotes公式的截断误差定理7.1定理7.2定理:(Newton-Cotes公式余项定理)四、Newton-Cotes公式的数值稳定性初步看来似乎n值越大，代数精度越高。是不是n越大越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。五、待定系数法习题七P181-----1，3（3）,5（4）