2、2468yi2112848o2468xy10203040解：设拟合曲线为即解得所求多项式型经验公式为y=-16.5+7.75x。检验经验公式的优劣拟合度：拟合相对偏差：拟合绝对偏差：设经验公式在各结点处的函数值为“坏点”：超过允许绝对误差限超过允许相对误差限“坏点”处理或例3已知一组实验数据求其多项式型经验公式。解：设拟合曲线为xi1234567yi5321247即所求经验公式为多项式型经验公式算法：(1)输入样点(xi,yi)(i=1,2,…,N)，拟合多项式的次数m；(2)求正规方程组的增广矩阵。i=0,1,…,m①②j=0,1,2,…,m(3)
3、用列主元高斯消去法求正规方程组的解ti(i=0,1,2,…,m)。(4)输出经验公式(5)误差分析及“坏点”检验。3.幂函数、指数函数型经验公式二、最优平方逼近函数定义1(离散型)设在点集上，已知函数y=y(x)的值和一组权系数。若有广义多项式P(x)，使得最小，则称P(x)为函数y=y(x)在点集X上关于权系数{}的最优平方逼近多项式，或数据{}的最小二乘拟合多项式。当时，“关于权系数”常略而不提。定义2(连续型)在区间[a,b]上,函数y=y(x)连续,权函数且只在[a,b]的有限个点上。若有广义多项式P(x)，使得最小，则称P(x)为函数y=y
4、(x)在区间[a,b]上关于权函数的最优平方逼近多项式。当时，“关于权函数”常略而不提。定义3函数f(x)与g(x)的内积定义为(离散型)或(连续型)内积的性质：(4)当f(x)不恒为0时,(f,f)>0定义4若(f,g)=0,则称函数f与g正交。定义56.2正交多项式定义6满足的函数系称为正交函数系。当是代数多项式时,称为正交多项式。正交函数系举例：(1)三角函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……在区间上正交。(2)勒让德(Legendre)多项式在区间[-1,1]上正交。(3)切比雪夫(chebyshev)多项式在区间[-1,
5、1]上关于权函数正交。设是区间[0,1]上权函数为的最高项系数为1的正交多项式序列，其中=1，试求出和。正交多项式的性质：设为正交多项式。(1)线性无关推论任意次数低于n的k次多项式必与n次正交多项式正交。(2)在正交区间[a,b]或[minxi,maxxi]上,n≥1的n次正交多项式恰有n个不同的零点。正交多项式的性质：(3)三项递推关系设的最高次项为令,则有其中例2xi2468yi2112848y=-16.5+7.75x6.3最优一致逼近定义1在区间[a,b]上,函数f(x)连续,若有n次多项式Pn(x)，使得最小，则称Pn(x)为函数f(x)在
6、区间[a,b]上的n次最优一致逼近多项式。可以证明，函数f(x)在区间[a,b]上的n次最优一致逼近多项式存在且唯一。一、最优一致逼近的概念定义2在区间[a,b]上,函数f(x)连续,Pn(x)是n次多项式。若存在x*[a,b]，使得则称x*为Pn关于f的偏差点。若Pn(x*)-f(x*)>0，则称x*为正偏差点；若Pn(x*)-f(x*)<0，则称x*为负偏差点。切比雪夫定理在区间[a,b]上,函数f(x)连续,n次多项式Pn(x)是f(x)的最优一致逼近多项式的充要条件是：在[a,b]上至少有n+2个Pn关于f的依次轮流为正负的偏差点，即至少有n
7、+2个点，使得上述点称为切比雪夫交错点组。推论[a,b]上的连续函数f(x)的最优一致逼近多项式Pn(x)是f(x)的一个Lagrange插值多项式。二、切比雪夫多项式的性质在区间[-1,1]上关于权函数正交。性质1满足三项递推关系性质2是最高次项为的n次多项式。(n≥1)性质3在区间[-1,1]上有n个零点性质5Pn(x)是最高次项为的n次多项式，则性质4在区间[-1,1]上且在n+1个点处Tn(x)依次轮流取最大值1和最小值-1。性质5称为切比雪夫多项式的极性。三、切比雪夫插值多项式
