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1、抛物线的简单几何性质(2)方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例1：(1)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，求抛物线通径长。(2)一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，求这个三角形的面积。（3）：已知抛
2、物线的顶点在坐标原点，对称轴为相交的公共弦等于，求这条抛物线的方程与抛物线有关的最值问题例2、例3.图中是抛物线拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面宽，水下降多少？xyoABCDEF例4、斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A､B,求线段AB的长.焦点弦问题[解]方法1:如下图,由抛物线方程可知,焦点F(1,0),因而直线AB的方程为y=x-1,代入y2=4x得x2-6x+1=0,设A(x1,y1)､B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=1题型五焦点弦问题例4、斜率为1的直线经过抛物线y2=
3、4x的焦点,与抛物线相交于两点A､B,求线段AB的长.题型五焦点弦问题变式：[规律技巧]在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种情况:①直线与抛物线的对称轴平行;②利用Δ=0,此时直线与抛物线相切.例5：已知抛物线y2=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k.当k为何值时,l与抛物线有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点.直线与抛物线的位置关系变式：求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.解:如图所示.(1)若直线的斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方程为x=0.显然只有一个公共点,
4、即直线x=0与抛物线只有一个公共点.(2)若直线的斜率存在,设过点P的直线方程为y=kx+1,由得k2x2+2(k-1)x+1=0,当k=0时,解得y=1,即直线y=1与抛物线只有一个公共点.当k≠0时由Δ=4(k-1)2-4k2=0,得k=.即直线y=x+1与抛物线只有一个公共点.综上所述,所求直线方程为x=0或y=1或y=x+1.例6：求以(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦所在的直线的方程.解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2.又y21=8x1,y22=8x2
5、,∴y21-y22=8(x1-x2),∴故所求直线方程为y+1=-4(x-1),即4x+y-3=0.中点弦问题变式：已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是。.F例7.交于定点.F例7.变式1:若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.xyOy2=2pxABlP(2p,0)变式2：若直线l与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB，则直线过定点__________.(2p,0)xyOy2=2pxABlP高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2=2
6、px（p＞0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆C(C为圆心），试证明抛物线顶点在圆C上。xyOy2=2pxABlQ(2p,0)例6.过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这条抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．xyoABFDCHE变式训练:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l,交抛物线于A､B两点.(1)求
7、AB
8、;(2)求
9、AB
10、的最小值.
