非线性相关分析.pdf

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1、研究生地理数学方法（实习）Part1电子表格Excel第4章非线性回归分析非线性方程千变万化，没有固定的建模模式。因此，在非线性模型建设过程中，经验知识非常重要。有人认为，非线性建模不仅仅是一种技术，有时更多地是一种艺术——正如兵无常法、水无常形，“运用之妙，存乎一心。”不过，当我们在Excel中估计某些非线性模型的参数的时候，却有一定的路径可寻。下面列举几个常见类型的例子，希望读者能够触类旁通，举一反三。这些例子有一个共性，那就是可以转换为线性模型，然后基于最小二乘算法进行线性回归分析。§4.1常见数

2、学模型首先说明常见的可以线性化的非线性模型，这些模型包括指数模型、对数模型、幂指数模型、Guassian模型（二次指数）模型、对数正态模型、双曲线模型、Logistic模型、多项式模型，如此等等。列表如下（表4-1-1）。表4-1-1常见的可以线性化的非线性模型模型数学方程转化关系线性表示bx指数模型y=aey′=lny，a′=lnay′=a′+bx对数模型y=a+blnxx′=lnx，y=a+bx′b幂指数模型y=axx′=lnx，y′=lny，a′=lnay′=a′+bx′二次指数模bx22y=ae

3、x′=x，y′=lny，a′=lnay′=a′+bx′型（正态）对数正态模b(lnx)22y=aex′=(lnx)，y′=lny，a′=lnay′=a′+bx′型双曲线模型1b=a+x′=1/x，y′=1/y，y′=a+bx′1yx双曲线模型1=a+bxy′=1/y，y′=a+bx2yLogistic模1y=y′=ln(1/y−1)，a′=lnay′=a′−bx型−bx1+ae22抛物线模型y=a+bx+cxx′=xy=a+bx+cx′x′=lnx，y′=lny，z′=lnz，bc生产函数y=axzy′

4、=a′+bx′+cz′a′=lna66研究生地理数学方法（实习）Part1电子表格ExcelGamma函−b−cxy=axex′=lnx，y′=lny，a′=lnay′=a′−bx′−cx数其他模型………………a′说明：如果模型系数a经过取对数变换，建模时需要利用下式还原：a=e。根据线性化结果的自变量数目，又可以分为三类：（1）一变量情形（如常规的指数模型、对数模型）、（2）一变量化为多变量的情形（如抛物线模型、二次指数模型、gamma函数）、（3）多变量的情形（如生产函数）。§4.2常见实例——一变

5、量的情形4.2.1指数模型（I）【例1】Boston人口密度的空间分布的指数衰减模型。这是一个经典的例子，由C.Clark观测和整理的统计数据，Clark（1951）是城市人口密度模型的最早提出者。他按照等距离的方式将城市分成若干环带（rings），然后借助人口普查区段（censustract）计算各个环带的平均人口密度。这样就得到两组变量：到城市中心（CBD）的距离x（取环带的中线或者外边界）和x处的平均人口密度。Clark用这种方法先后测量了欧美国家的20多个城市的人口密度数据，发现了所谓的Clar

6、k定律。下面是Clark测量的原始数据之一——1940年美国Boston的城市人口密度，数据由Banks（1994）提供（表4-2-1）。我们看看这组数据到底服从什么规律。表4-2-1Boston人口密度空间分布数据（1940）距离密度距离密度距离密度距离密度0.5263004.5115008.5320012.59001.5251005.598009.5230013.57002.5199006.5520010.5170014.56003.5155007.5460011.5120015.5500数据来源：

7、BanksRB.GrowthandDiffusionPhenomena:MathematicalFrameworksandApplications.BerlinHeidelberg:Springer-Verlag,1994.第一步，录入数据录入Excel工作表的数据见图4-2-1。第二步，作散点图（scatterplot）选中数据（图4-2-2），并点击图表向导，或者在主菜单“插入(I)”中选择“图表(H)”，就会弹出“图表类型”复选框（图4-2-3）。在图表类型中选择“XY散点图”。然后点击“完成”按

8、钮，就会立即弹出一个散点图（图4-2-4）。第三步，选择模型――添加趋势线在散点图中选择数据点，按鼠标右键，出现一个选项菜单，选择“添加趋势线”（图4-2-5）。确定以后，就会弹出“添加趋势线类型”选项框（图4-2-6），在这个复选框上可以切换到“添67研究生地理数学方法（实习）Part1电子表格Excel加趋势线选项”（图4-2-7）。假定我们事先并不知道数据服从什么模型，选择什么曲线好呢？有两种判断方法：一是根据散点图进行估计，二是逐个