药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片.ppt

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1、第四节中值定理洛必达法则一、中值定理二、洛必达法则一、中值定理定理2-1(罗尔(Rolle)中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点(a<

2、一点,使得f()=M。由于∈(a,b),故f()存在。而f()=M,所以,当x足够小时,f(+x)-f()≤0,若若二者又相等,所以f()=0成立。罗尔中值定理的几何意义:一段连续曲线y=f(x)除端点外,处处有不垂直于x轴的切线(即可导),且在两个端点处的纵坐标相等(即f(a)=f(b)),则在该段曲线上至少有一点(,f())的切线与x轴平行。例2-26已知f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)。不求导,判断方程f(x)=0的实根个数和范围。解f(x)的连续性和可导性是明显的,且f(1)=f(2)=f(3)=0,故

3、在区间[1,2]、[2,3]上均满足罗尔中值定理的条件,则在(1,2)内至少存在一点1,使得f(1)=0;在(2,3)内至少存在一点2,使得f(2)=0。而f(x)=0是一元二次方程,最多有两个实根,分别在开区间(1,2)、(2,3)内。拉格朗日,法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵,1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中,他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法,为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓

4、特烈大帝向拉格朗日发出邀请说,在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林,居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书,建立起完整和谐的力学体系。1786年,他接受法王路易十六的邀请,定居巴黎,直至去世。近百余年来,数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。定理(拉格朗日(Lagrange)中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点(a<

5、a)=F(b)=0所以函数F(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔中值定理的条件,则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得即拉格朗日中值定理的几何意义:一段连续曲线y=f(x)除端点外,处处有不垂直于x轴的切线,则在该段曲线上至少有一点(,f())的切线,与曲线端点的连线平行。推论2-3如果函数f(x)在开区间(a,b)内的导数恒等于零,则函数在开区间(a,b)内为常数。证明任取x1、x2∈(a,b),则f(x)在闭区间[x1,x2]上满足拉格朗日定理条件,在(x1,x2)内至少存在一点,使得由于f()=0,即f(x2)-f(x1)=0,f

6、(x2)=f(x1)所以函数在开区间(a,b)内为常数。推论2-4如果函数f(x)、g(x)在开区间(a,b)内恒有f(x)=g(x),则在(a,b)内f(x)、g(x)相差一个常数,即f(x)=g(x)+C,其中C为常数。例2-27求证不等式sinx-siny≤x-y。证明建立函数z=sint。函数z=sint在区间[x,y](不妨设x≤y)上满足拉格朗日中值定理的条件,则在(x,y)内至少存在一点,使得所以即sinx-siny≤x-y定理2-3(柯西(Cauchy)中值定理)如果函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连

7、续,在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0。则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得成立。证明g(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,则在(a,b)内至少存在一点使得即g(b)-g(a)=g()(b-a)。由于g()≠0,故g(b)-g(a)≠0。构造辅助函数因为,且F(a)=F(b)=0所以函数F(x)在[a,b]上满足罗尔中值定理的条件,则在(a,b)内至少存在一点,使得即二、洛必达法则洛必达是法国数学家。1661年生于巴黎;1704年2月2日卒于巴黎。洛必达出生于法国贵族家庭,青年时期一度任骑兵军官,因眼睛近视而自

8、行告退,转向从事学术研究。15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题。他是莱布尼茨微积分的忠实信徒,并且是约伯努利的高徒,法

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