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1、第二章圆2.5.3圆的切线判定定理1．直线与圆的三种位置关系在图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么位置关系?图（１）图（２）图（３）２、观察、提出问题、分析发现根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?（一）复习、发现问题图(2)中直线L是⊙O的切线，怎样判定？L1L2L3OA观察下列两图形并回答:(1)图中直线L1.L2.L3均与半径OA垂直,当垂足在什么位置时,直线是圆的切线?为什么?AOabc(2)图中直线a、b、c
2、均过半径OA的外端点,直线与OA成什么角时,直线是圆O的切线?为什么?发现：(1)直线L经过半径OA的外端点A；(2)直线L垂直于半径0A．这时，直线L是圆的切线.（二）切线的判定定理切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条件：①经过半径外端；②垂直于这条半径．问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．必需同时满足,二者缺一不可。应用定理，强化训练例1已
3、知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB.．例2如图2.已知OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米.求证：AB与⊙O相切分析：因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等于⊙O的半径3厘米即可.证明：连结0C∵0A＝0B，CA＝CB，∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线．∴AB⊥OC．直线AB经过半径0C的外端C并且垂直于半径0C，
4、所以AB是⊙O的切线．证明：过O作OC⊥AB，垂足为C.因为OA＝OB＝5cm，AB＝8cm，所以AC＝BC＝4cm.在Rt∆AOC中OC=√OA2-AC2=3cm又因为Ｏ的直径为6cm故ＯＣ的长等于☉Ｏ的半径3cm.∴AB与☉Ｏ相切想一想：以上两例辅助线的做法是否相同？有什么规律呢？规律：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是 “连圆心和公共点”再证直线与半径垂直．简记为：有交点，连半径，证垂直（2）若直线与圆没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证圆心到直线的距离等于圆的半径．简记为：无交点,作垂直,证半径（三
5、）切线的判定方法切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．如图AB是⊙O的直径.AE是弦,EF是⊙O的切线,E是切点,AF⊥EF,垂足为F,AE平分∠FAB吗?AFABEO．∟〖例3〗如图CB是⊙O的切线,C是切点,OB交⊙O于D,∠B＝30°,BD=6cm,求BCCOBD〖例4〗练习1判断下列命题是否正确．(1)经过半径外端的直线是圆的切线．()(2)垂直于半径的直线是圆的切线．()(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．()(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．(
6、)(5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切．()练习2.已知,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上DB=OB,点C在圆上,∠CAB=300,求证:DC是☉O的切线ACDBO（四）巩固练习练习2：如图AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线。理由如下：又∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°∵AC＝AB，∠B＝45°(已知)∴直线AC⊥AB又∵直线AC经过⊙O上的A点∴直线AC是⊙O的切线∴∠C＝∠B＝45°(等边对等角)∴∠BAC＝180°-∠B-∠C＝90°O●ABC
7、证明：连结OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴∠PEC=90°∴∠OPE=∠PEC=90°∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。练习3OABCEP.ACBPO练习4：如图,点P在⊙0外，PC是⊙0的切线,切点是C.直线PO与⊙0交于A、B,试探求∠P与∠A的数量关系.课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这
8、条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线
