模型06：微分模型.ppt

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1、数学建模第四讲微分模型数学实验与静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数(不是函数)建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法微积分：单调f’(x)极值：最优点单调分界点、驻点积分：不规则的整体量的求解模型一:围棋中的两个问题问题提出方形棋盘每边设计多少道才是最佳的?先手贴后手多少目才是最合理的?问题分析围棋的死活围棋中的问题问题分析做活的速度、效率例:二、三、四线棋子形成活型所用的最少子数三线二线四线棋子数N2=8N3=7N4=8目数M2=4

2、M3=6M4=6问题分析定义:目效率(块)E=M(目数)/N(棋子数)则:边线做活的目效率为N2=8M2=4N3=7M3=6N4=8M4=6攻守双方公平古11道19道二千多年E2=1/2E3=6/7E4=6/8模型建立问题化为怎样设计方形棋盘使三线围的边部与四线围成的中腹具有相同的地位或最小的差异?令:三线取边部目效率E3四线占中腹目效率E4目标:E=E3-E4最小设:棋盘为x道。（x∈N）110∴E↗E=E4-E3=0只有唯一解E(18)≈

3、-0.1888E(19)≈0.092∴x=19时,

4、E

5、min?谁占便宜三线边部l1.m贴子:三线、四线目效率相等y≈5.2(目)现中国：贴23/4子日本：贴5目半四线三线森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.救援费f2(x)是x的增函数,由队员人

6、数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小模型二:森林救火关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比：系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c

7、2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.？b0t1tt2假设1）假设2）模型构造火场0≤t≤t1～t↗β↘β-xt1≤t≤t2模型建立b0t1tt2目标函数——总费用假设3）4）其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数模型求解求x使C(x)最小结果解释/是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2tl2.m模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,,可设置一系列数值由模型决定队员数量x水箱水流模型三:估计

8、水塔的水流量问题美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总用水量但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直到某一最高水位Ｈ，但也无法得到水泵的供水量的测量数据．因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水量之间的关系水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约二小时试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔

9、流出的流量，并估计一天的总用水量．mcm1991A数据水塔是一个高为40英尺,直径为57英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50英尺时水泵停止工作1英尺=0.3048m感受数据小时米流速l3.m边界点缺失点？插值模型Matlab函数多项式拟合[p,S,mu]=polyfit(x,y,n)一维插值二维插值多项式系数误差估计x均值标准差interp1(X,Y,xi,method)interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)method:nearest最近line

10、ar线性spline三次样条cubic三次函数已知点插值点方法l4.mf=polyval(p,x)计算多项式的值模型求解插值三次样条——缺失点问题任何时候水从水塔流出的流量体积：水塔是一个高为40英尺,直径为57英尺的正圆柱插值估计一天的总用水量积分l5.mEND