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时间:2020-04-07
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1、第一章一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限例3.证明证:故取当时,必有因此3.左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理3.(P39题*11)函数极限的性质2.函数极限的局部保号性(P37定理3)1.函数极限的局部有界性(P36定理2)3.函数极限的唯一性(P36定理1)4.函数极限与数列极限的关系(P37定理4)第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大当一、无穷小(量)定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时
2、的无穷小(量).时为无穷小.其中为时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.二、无穷大(量)定义2.若任给M>0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在注意:无穷小并不是很小的数,无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数但不是无穷大!例.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则
3、为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:换成也成立!四、无穷小运算法则(P38-39)定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.如果则时,有定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.夹逼准则推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如果则定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:
4、设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.例1.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2作业P37*2(2);4(1);8第五节
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