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1、。。。青年专号蒙自师专学报声““ournaoengiTeae年月19896JlfM关分析中考数学中的四点共圆赵宏伟弥勒一中()摘要,四点共国问题充分体现了直线形的园内接四边形与圆的密切联系通常还融会了直。,、线形和圆的一些重要性质通过讨四点共圆问题的学习可以提高分析问题解决问题。和综合运用的能力,,我:在几年的中考中均出现了关于圆的综合题认为其目的是首先检查考生掌握,。圆的一部分知识情况其次着重检查考生综合运用知识的能力云南省在这两年关于圆,,。的综合题的证明中都可以通过四点共圆进行证明足见四点共圆的重要性1.:产P,`、B,
2、AC是0例已知00与④O外切于过P点作直线交00与00于A0,尸,:··的弦过B点作00的切线交AC的延长线于D求证APAB二ADAC(1987年云南省中考试题):二·,:、、、。分析要证等积式A.PABACAD则须证点PBDC共圆于是连结,.尹,。PC得到四边形PBDC又因为00与00外切于P两圆相切常作它们的公切线不帝1989年3月12日收至.1,.又因产,,妨过点P作内公切线PE交BD于点EBD切00于点B联想到切线长定理=,1。,。.二EBEP所以艺=乙B而对顶角乙1=匕2弦切角乙2=乙3于是乙3,、、、。,。乙B即四
3、点PBDC共圆再由割线定理命题得证(证明略)下面例均省去。证明过程.:,,二,,例2已知ABCD是矩形延长AD到E使AEABF是AB上一点延长,二,,:=.BC到G使CGAFEF交DG于H求证匕DHB90(1988年云南省中考试题)乡,气r......吧,召留时仪分析:CD于点P,,二90,令EF交由于四边形ABCD是矩形所以匕DCG要证=。,、、、,.乙DHE90考虑四点PCGH共圆须证乙1=乙G因为乙1二匕2(两直,,2,线平行内错角相等)于是只须证乙二G这个结论可以通过证Rt△AEF丝Rt△CDG。得到3。,,DH二,例
4、如图△ABC中BC边上的高AD延长线交外接圆于GDGBH的延,:,·=·.长线交AC于E求证(z)BE土AC(2)AHDGBHHE(2988年云南省中考试题),,、、:、,=分析因为匕乙要证A(E土1A)C只须证四点DCEH共圆ADCRt1。=,,,于是转化为证乙=乙C又因为DHDGBD土HG所以连结BG则△BGH是等,二,=,1二腰三角形乙1乙G而乙C乙G故乙乙C:o·,(2)要证AHDG二BHHE只须证Rt△AHEoRt△BHD,,。由此可见圆与四边形是比较重要的在其它省市也出现了这方面的证明题.,、,,,,,例4如图两圆
5、相交于AB从一圆上一点P引直线PAPB交另一圆于CD,、、。过P作PH土CD交于H则PH必须过圆PAB(即过PAB三点的圆)的圆心(一九八七年宁波中考试题):,,分析令PH交圆PAB于Q要证PH过圆PAB的圆心只须证PQ为圆PAB的直。,=,,,、径连结AQ则证乙PAQRt乙在四边形AQHC中PH土CD故只须证四点A、、,。,,QHC共圆于是转化为证匕1二艺C两圆相交常公共弦不妨连结AB则四点、、、,2,,,二.ABCD共圆乙=匕C在圆PAB中/1二乙2故乙1乙C5.,,,、、,例如图AD是圆的直径l是过D点的切线割线ABAC
6、交l于点BC交、,:·=·,圆于点EF(1)求证AEABAFAC(2)如果使直线1向上平行移动成为,、、,、,·二圆的割线而ABAC与1仍交于点BC与圆仍交于点EF那么等式AEABAF·AC是否仍成立?为什么?(1986年杭州市中考试题)A水以二经才·,:(、、、=。,分析要证则证四点1B)CAFEEA共B圆A连F.结ACEF证=2,,1=3,,,,2+乙1匕再连结ED则乙艺又因为AD为直径1切圆于D所以匕=“,二0,,。乙490乙3+乙490乙2“乙3即乙1=乙2,,·=·,、(2)如下图当1向上平移时等式AEABAFAC是
7、否成立则探索四点E、、。,,,,,FCB是否共圆因为1为平移所以1上AD连结EFDF则乙1+乙2二Rt匕匕+2=,1二D,二,1二,D乙tR乙故乙乙又艺E乙D因此匕乙E四边形BCFE内接,。于圆等式仍能成立例6.如图,0与00,A、B两点,④,,0相交于O过00的圆心O过A作直线分别、,,=.交两圆于CD连结CB求证CDCB1986年南京市中考试题):、、、1,,,,,,,,.分析因为四点ACB0共圆连结0A0B再连结OCOD通过观,二,:,。,二工,二,察要证el)CB则证△BOC望△DOC弦OAOB所以匕l乙2又因为I二I
8、,一,二,二,:ODOA匕3乙D而乙3艺B(四点共圆)故乙B/D从而△BOC望,,。么DOC于是命题得证80ANALYSINGTHFOURPOINTSCOEINMATHEMATICSMIDDLEUNIFEZhao,e(TheFrstSenorMili)iiABSTRACTTh
