《直线与圆》常见考点及题型分析.doc

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1、《直线与圆》常见考点及题型分析陕西省麟游县中学（721599）韩红军1.热点透析解析几何涉及直线与圆和圆锥曲线两部分内容，是衔接初等数学和高等数学的纽带，是运用“数”研究“形”。（1）近几年高考的热点：第一部分是直线的方程。需要掌握直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（如点斜式、两点式和一般式等），两直线位置关系（平行、垂直）的判定和应用。第二部分是圆的方程。需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等。第三部分是直线和圆、圆与圆的位置关系。需要掌握直线与圆、圆与圆的位置关系中基本量的计算。（2）近几年常考的题型：主要是一道选择题或填空题

2、，单独出解答题的概率不大，然而有可能作为解答题的背景或渗透在解答题的第（1）问中。2.热点题型分类精讲题型一：求直线的倾斜角或斜率例1.（2014，安徽）过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离≤1，即k2－k≤0，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是.故选D．评注：直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往

3、会和三角函数的有关知识联系在一起.题型二：求直线的方程例2.（2014，福建）已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)A．x＋y－2＝0B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0解析：由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.评注：若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.题型三：

4、求圆的方程例3.（2014，陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：由圆C的圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，得圆C的圆心为(0，1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.例4.（2014，山东）圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．解析：因为圆心在直线x－2y＝0上，所以可设圆心坐标为(2b，b)．又圆C与y轴的正半轴相切，所以b>0，圆的半径是2b.由勾股定理可得b2＋()2＝4b2，解得b＝±1.又因

5、为b>0，所以b＝1，所以圆C的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4.评注：求圆的方程的两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．题型四：直线与圆的位置关系例5.（2014，江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r＝2，圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.例6.（2014，浙江）已知圆x2＋y2

6、＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)A．－2B．－4C．－6D．－8解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4,故选B.例7.（2014，湖北）直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.解析：依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×sin45°，得

7、a

8、＝

9、b

10、＝1.故a2＋b2＝2.例8

11、.（2014，全国）直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．解：根据题意，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，即l1与l2的夹角的正切值等于.评注：解决圆与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，要用平面几何中有关圆的性质，养成勤画图的良好习惯.题型五：圆与圆的位置关系例9.（2014，湖南）若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y