高等数学同济七版第一章第六节.ppt

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1、一、准则I第一重要极限二、准则II第二重要极限*三、柯西极限存在准则一、准则I第一重要极限准则I如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)从某项起，即n0N，当n>n0时，有(2)ynxnzn，那么数列{xn}的极限存在，且xyO1准则I可以推广到函数的情形.准则I'如果(1)当(或

2、x

3、>M)时，g(x)f(x)h(x)，(2)那么存在，且等A.准则I及准则I'称为夹逼准则.第一重要极限OCABD1xy函数的图形如下：1xyO例1求例2求例3求例4求代表相同的表达式例5求例6设ai0(i=1,2,…

4、,m),A=max{a1,a2,…,am},证明二、准则II第二重要极限数列的单调性如果数列{xn}满足条件x1x2…xnxn+1…,则称数列{xn}是单调增加的；如果数列{xn}满足条件x1x2…xnxn+1…,则称数列{xn}是单调减少的.单调增加和单调减少的的数列统称为单调数列.例如，数列是单调增加的，其几何意义如下图所示.从图中可以看出，一般项xn随n的增大而增大，但不论项xn如何增大，总有xn<1.而我们已知道该数的极限存在，且为1.又如，数列是单调减少的，其几何意义如下图所示.从图中可以看出，一

5、般项xn随n的增大而减小，但不论项xn如何减小，总有xn>1.而我们已知道该数的极限存在，且为1.从这两个例子，我们发现这样一个事实：如果数列{xn}单调增加，且xnM(即有下界),则该数列的极限存在.这一发现不是偶然的，事实上，我们有准则II单调有界数列必有极限.证明略.第二重要极限Oxy1Ce为自然对数的底，e2.718281828在上式中，令则得第二重要极限公式适用的范围：(1)函数为幂指函数(底和指数均为x的函数)；(2)底的极限为1，指数的极限

6、为.例7求例8求代表相同的表达式代表相同的表达式*三、柯西(Cauchy)极限存在准则柯西极限存在准则数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N使得当m>N,n>N时，就有

7、xn–xm

8、<.证明略.