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1、第二章导数与微分第一节导数的概念第二节导数的求导法则和基本公式第三节隐函数及参数方程所确定的函数的导数第四节高阶导数第五节函数的微分及其应用第一节导数的概念一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线即为割线MN的极限位置MT(当时).割线MN的斜率切线MT的斜率设函数在点的某邻域内有定义,若存在,则称函数在点处可导,并称此极限为在点的导数.记作:定义2.1.1即若上述极限不存在,则称在处不可导.如果函数在区间(a,b)的内
2、每一点都可导，则称函数在区间(a,b)内可导，这样就产生了一个新的函数，此函数称为函数的导函数，记作即求函数的增量求平均变化率取极限三、求导数举例用导数定义求导数的步骤如下：四、左、右导数函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数和右导数存在且相等.即左导数右导数单侧倒数若函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且及都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.五、导数的几何意义切线方程:法线方程:曲线在点的切线斜率为因此,六、函数的可导性与连续性的关系所以函数在该点处连续.定理2.1.1若函数在点处可
3、导，则函数在点处必连续.证设函数在点处可导，即存在，则注意:函数在点x处连续未必可导.定理2.2.1设函数都在点x处可导，则函数的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x处可导.且第二节函数的求导法则和基本公式一、函数求导的四则运算法则推论1推论2(C为常数)二、反函数的导数定理2.2.2证:在x处给增量,由反函数的单调性知且由反函数的连续性知时必有，因此常数和基本初等函数的导数三、复合函数的求导法则定理2.2.3如果函数在点x处可导,而函数在对应的点u处可导,则复合函数也在点x处可导,且有证:在点u可导
4、,故（当时)故有定义2.3.1一般地，如果变量x和y满足一个方程，在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地，总有满足这一方程的y值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数.第三节隐函数及参数方程所确定的函数的导数隐函数一、隐函数的导数显函数隐函数的显化隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.对数求导法先将函数两边取对数，再利用隐函数的求导法则求导.适用于由幂指函数、连乘连除或乘方、开方所构成的比较复杂的函数.二、由参数方程确定的函数的导数若参数万程确定y与x之间的函数关系，则称此函数为
5、由参数方程所确定的函数.定义2.3.2再设函数都可导,且.由复合函数及反函数的求导法则与反函数的求导公式,有在方程中，设函数具有单调连续的反函数，则.34第四节高阶导数定义2.4.1函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍是x的函数,我们称f'(x)的导数为函数f(x)的二阶导数,记作y''或,即y''=(y')'或.相应地,把y=f(x)的导数f'(x)称为函数y=f(x)的一阶导数.类似地有三阶,四阶,…,n阶导数，分别记作y''',y(4),…,y(n)或,,…,.其中，二阶及二阶以上的导数称为高阶导
6、数.二、参数方程的二阶导数若参数方程具有一阶导数，那么由可得到函数的二阶导数公式即一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0+Δx问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x0取得增量Δx时,面积的增量为关于Δx的线性主部故一、微分的概念1.引例第五节函数的微分及其应用称为函数在x0的微分Δx→0时为高阶无穷小2.微分定义定义2.5.1设y=f(x)在x0处的某邻域内有定义,x+Δx是该邻域内的任意一点,如果函数在x0处的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示成
7、Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是仅与x有关的常数,o(Δx)是Δx的高阶无穷小,则称函数y=f(x)在点x0处可微.并称AΔx为函数y=f(x)在x0处的微分，记作dy,即dy=AΔx,且有A=f'(x),这样dy=f'(x)Δx.函数y=f(x)在点x0处可微的充要条件是函数y=f(x)在x0处可导.当Δy是曲线的纵坐标增量时;dy就是切线纵坐标对应的增量，当
8、Δx
9、很小时,在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1.基本初等函数的微分公式
10、设函数都可微，则复合函数的微分为即2.函数和、差、积、商的微分法则3.复合函数的微分法则微分形式不变性四、微分在近似计算中的应用若函数在点处的导数，且当很小时，有或常用的近似公式
