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1、26安阳师范学院学报2009年一个类Lorenz系统的混沌动力学分析袁地(安阳师范学院物理系,河南安阳455000)[摘要]构造了一个不同于Lorenz系统、Chen系统和L系统的三维连续自治混沌系统。利用非线性动力学的方法,通过理论推导、数值仿真、Lyapunov指数谱、分叉图、相图、Poincare截面图和功率谱研究了这个类Lorenz混沌系统的基本动力学特性,并分析了系统在不同参数时复杂的动力学现象,结果表明,该系统具有丰富的动力学行为。[关键词]Lorenz系统;混沌;Lyapunov指数谱;分叉图[中图分类号]O415[文献标识
2、码]A[文章编号]1671-5330(2009)02-0026-05[1][1]自1963年Lorenz在一个三维自治系统中首著名的Lorenz系统为次发现混沌吸引子以来,混沌理论得到了迅速发xÛ=a(y-x)[2-6]展,人们不断发现新的混沌系统。1999年,在yÛ=cx-y-xz(1)[2]Lorenz系统的基础上,Chen和Ueta利用混沌反zÛ=xy-bz控制的方法发现了一个新的三维混沌系统)))当参数a=10,b=8P3,c=28,该系统呈现[3]Chen系统。不久,L和Chen在2002年又通过混沌状态。混沌反控制的想法发现了
3、L系统,这个三维混沌本文研究的混沌系统的动力学方程为:系统在Lorenz系统和Chen系统之间架起了一座xÛ=a(y-x)桥梁。yÛ=cx-xz(2)[7]21996年,Vanecek和Celikovsky提出三维自zÛ=-bz+x治方程组的动力学行为是由其线性部分A=为方便起见,可以将方程(2)写成向量的形式[aij]3@3来决定的:当a12a21>0时,其动力学行为dX=f(X)(3)dt类似于Lorenz系统(称广义Lorenz系统族);当a123式中,X=(x,y,z)IR,f(X)是(2)式右a21<0时,其动力学行为类似于Ch
4、en系统;而L端矢量场的向量形式,a,b,c为实常数。当a=7,系统的动力学行为则满足a12a21=0。b=2,c=25时系统存在一个混沌吸引子,如图1在上述研究的基础上,本文提出了一个类所示。Lorenz系统的混沌系统,利用非线性动力学的方1.2基本动力学特性法,不仅通过常用的方法如理论推导、时序图、相1.2.1系统的对称性[8-14]图,还利用Lyapunov指数谱、Poincare截面图、系统(2)具有自然的对称性,即做变换[15-18]分叉图和功率谱数值模拟研究了该系统的(x,y,z)y(-x,-y,z)(4)基本动力学特性,并分
5、析了系统在不同参数时复后,系统保持不变。变换(4)式可表示为杂的动力学现象,结果表明,系统在不同参数情况-100下具有丰富的动力学行为。P:R3yR3,X
6、yPXP=0-101新的三维混沌系统模型及基本动力学001特性它满足f(PX)=Pf(X),即系统关于z轴对称,且1.1一个类Lorenz系统模型及其典型的混沌吸这种对称性对所有参数均成立。例如,由图1可以引子看出,当a=7,b=2,c=25时,系统在xz平面[收稿日期]2008-06-06[作者简介]袁地(1981-),男,河南省驻马店市,安阳师范学院助教,硕士,主要从事非线性动力学
7、与模拟控制研究。第2期袁地:一个类Lorenz系统的混沌动力学分析27的相图关于原点对称。图1当a=7,b=2,c=25时系统(2)的典型混沌吸引子(a)xy平面相图,(b)xz平面相图,(c)yz平面相图,(d)xyz三维空间相图1.2.2系统的稳定性三个特征值为采用Lyapunov方法判断该系统的稳定性。为K1=-2,K2=-17.1839,K3=10.1839求得系统的稳定性,令系统(2)的右端为零,即这里,K1和K2为负实数,K3为正实数,则平衡点a(y-x)=0,O(0,0,0)是一个不稳定的鞍点。+cx-xz=0,(5)接下来
8、对系统(2)进行线性化,分析在平衡点P2-x-bz=0,和P的情况。+则系统具有如下三个平衡点:对于平衡点P,其对应的Jacobian矩阵为+-O(0,0,0),P(x0,y0,z0),P(x1,y1,z1)-770显然,式(5)是一个非线性的代数方程,对其进行J0=00-7.0711求解可得14.14220-2+-O(0,0,0),P(7.0711,7.0711,25),P(-7.令
9、KI-J+
10、=0+0711,-7.0711,25)求解此方程可以得到与平衡点P对应的三个特对于平衡点O(0,0,0),把系统(2)进行线性化,则征值为其对
11、应的Jacobian矩阵为K1=6.3184,K2=-7.6592+7.2197i,-aa0-770K3=-7.6592-7.2197iJ0=c-z0-x=2500与零平衡点不同,此时K1为正
