考研高等数学导数与微分(上)总结.ppt

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1、第二章导数与微分(1)1基本内容一、导数与微分的概念1导数定义：也记作或2其它形式也记作或3当时,为右导数当时,为左导数2.左导数右导数43.导函数的定义：若函数在区间I上每一点处都可导，则任意点处的导数，叫导函数.5导函数的定义解64.可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导，必不可导.不连续思考：7注意：89二、求导的基本公式10三、求导法则(其中)1.函数和、差、积、商的求导法则2.复合函数的求导法则113.反函数的求导法则注意：使用求导法则的前提是“各自可导”.四、高阶导数1.定义：如果函数的导数在点处可导，即存在则称为函数在点处的二阶导数.12

2、记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地，称为零阶导数，称为一阶导数.一般地，函数的n-1阶导数的导数称为函数的n阶导数.2.高阶导数的计算：(C为常数)直接法和间接法13(3)乘积该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆3.高阶导数的基本公式1415五、几类特殊函数的导数1.隐函数求导法2.幂指函数的求导法幂指函数的求导方法有两种：若幂指函数为方法1：对数求导法，两端对x求导：直接求导法16变形为然后用复合函数求导法求导.若幂指函数为幂指函数的求导方法有两种：方法1：对数求导法，两端对x求导：方法2：利用复合函数求导法173.由参数方程所确

3、定的导数由复合函数及反函数的求导法则得即设函数具有单调连续的反函数18六、应用1.几何应用(1)几何意义：是y=f(x)在点处切线的斜率.(2)切线、法线的方程：切线的方程：法线的方程：192.物理应用瞬时速度：瞬时加速度：2021九、微分的概念1.定义：设函数在某区间内有定义，及在这个区间内，其中是不依赖于的常数，是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，自变量增量的微分，记作或即(微分的实质)而叫做函数在点相应于微分叫做函数增量的线性主部.如果可表示为：22由定义知:可微2.可微的充要条件函数在点可微的充要条件是：函数在点处可导，且4.可导与可微的关系:

4、可微可导连续有极限3.微分的计算公式:231)基本初等函数的微分公式5.微分运算公式与法则241)微分的四则法则：设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)2)微分法则2)复合函数的微分法则：结论：无论u是自变量还是中间变量，形式总是这种特性称为一阶微分形式的不变性25解典型例题分析题型一、已知导数求极限原式=26解原式=例2.27谢谢大家！28