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1、第四章数值积分和数值微分为什么要数值积分？要求被积函数f(x)☞有解析表达式；☞f(x)的原函数F(x)为初等函数．问题1)f(x)没有解析表达式，只有数表形式e.g.x12345f(x)44.5688.52)f(x)有表达式，但原函数不是初等函数e.g.，它们的原函数都不是初等函数。2xedx-ò解决办法1)我们用不同的办法近似可得到不同的积分公式。2）用简单曲线的积分代替复杂曲线的积分。求积公式举例1）梯形公式2）中矩形公式3）一般公式求积节点，求积系数，也称为节点的权，权仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数的具体形式。这种数值积分方法称为机械求积，
2、特点是积分问题转变为被积函数值的计算。求积公式的代数精度定义若求积公式对所有次数不超过m的代数多项式都精确成立，而对于某个m+1次多项式不能精确成立，则称此求积公式具有m次代数精度.上述定义等价于：若求积公式对f(x)=1,x,x2,…,xm均精确成立，而对f(x)=xm+1不精确成立,则称此求积公式具有m次代数精度.求积公式的代数精度概念是衡量公式逼近好坏的标准之一.例1判别下列求积公式的代数精度例2试确定一个具有3次代数精度的公式解：由条件可得下列方程组例设有求积公式求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度解：（3个未知系数
3、需三个方程）令求积公式分别对f(x)=1、x、x2准确成立。即解之得A0=A2=1/3，A1=4/3，即有又易知求积公式对f(x)=x3也准确成立：但所以该求积公式具有3次代数精度。容易验证:梯形公式1次代数精度中矩形公式1次代数精度求积公式的构造1）若已经选定求积节点则解线性方程组2）若系数和节点都不确定，则解关于和的非线性方程组。3）用简单函数的积分代替被积函数的积分。定理求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。证明：1）2）求积公式的余项，收敛性，稳定性若求积公式代数精度为，则可设求出K即可。K不依赖于函数f。令得到梯形公式余项
4、中矩形公式余项例：求余项解：1）确定代数精度是2.2）设3）令求得收敛性定义在中，若则称求积公式是收敛的。稳定性定义设对任给若存在，只要就有则称求积公式是稳定的。定理：若，则求积公式稳定。证明将区间[a,b]分成n等分,步长,特殊的求积公式——Newton-Cotes公式若记则于是有求积分公式(2)当n=1时，Newton-Cotes公式(2)为梯形公式当n=２时，Newton-Cotes公式(2)为辛普森（Simpson）公式Cotes系数性质:(1)对称性,即(2)Cotes系数之和等于1,即证明：令代人求积公式俩边得到。3）当柯特思系数出现负值。对
5、于n阶的Newton-Cotes求积公式当n为奇数时，至少具有n次代数精度；当n为偶数时，至少具有n+1次代数精度.因为被积函数为奇函数。梯形公式的余项定理若f(x)C2[a,b],则梯形公式余项为Simpson公式的余项定理若f(x)C4[a,b],则Simpson公式余项为证明：1）确定代数精度为3.2）令3）柯特思公式余项例用梯形公式和Simpson公式计算积分,并估计误差.解记a=0,b=1,f(x)=e-x,则f'(x)=-e-xf''(x)=e-x,f'''(x)=-e-x,f(4)(x)=e-x复合求积法当积分区间较大时，直接使用牛顿-
6、柯特斯公式所得积分近似值的精度是很难得到保证的。因此在实际应用中，为了既能提高结果的精度，又使算法简便且易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。将区间[a,b]适当分割成若干个子区间，对每个子区间使用低阶求积公式，构成所谓的复合求积公式，这是提高积分精度的一个常用的方法。复合梯形公式将区间[a,b]分成n等份，其分点为xi=a+ih(i=0,1,2,…n),步长h=(b-a)/n.在每个小区间[xk-1,xk](k=1,2,…n)上利用梯形公式则称为复合梯形公式复合梯形公式的误差定理：若,则证()由于f(x)C2[a,b]，利用闭区间上连续函数的介值
7、定理知存在一点[a,b],使因为求积系数为正，所以复合梯形公式稳定。复合辛甫生公式复合Simpson公式复合Simpson公式的截断误差定理若f(x)C4[a,b],则可以看出，复合Simpson公式是收敛的。证明()()实际上，只要f(x)可积，就可得到收敛性。复合辛普森公式计算稳定。例：用n=8的复合梯形公式和复合Simpson公式计算解：=3.138988494=3.141592502结论：相同节点个数时，辛甫生求积公式的精度更高第三节龙贝格(Romberg)算法一.梯形法的步长逐次分半算法将[a,b]分成n等分,有复合梯形公式将[a,b]分
8、成2n等分,有复合梯形公式即由以上递推公式可以看出，在已经算出Tn的基础上再计算
