资源描述：
《优化设计第02课-2数学基础.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节无约束优化问题的极值条件在x=x0处取得极值的必要条件为x0点必须为驻点，即在x=x0处取得极值充分条件...一、一元函数极值的必要条件二、多元函数极值的必要条件1.F(x)在x*处取得极值，其必要条件是:即在极值点处函数的梯度为n维零向量。例：在处梯度为但只是双曲抛物面的鞍点，而不是极小点。为了判断从上述必要条件求得的x*是否是极值点，需建立极值的充分条件。根据函数在x*点处的泰勒展开式，考虑上述极值必要条件，可得相应的充分条件。三、极值的充分条件海赛（Hessian）矩阵正定，即各阶主子式均大于零，则x*为极小点。海赛（Hessian）矩阵负定，即各阶主子式负、正相间，则x*为极大
2、点。对于等式约束优化问题数学模型：minf(x)s.t.hj(x)=0(j=1,2,…,m)有两种处理方法，即：1、消元法（降维法）2、拉格朗日乘子法（升维法）第五节等式约束优化问题的极值条件若将这些关系式代入到目标函数中，从而得到只含xl+1,xl+2,…,xn共n-l个变量的函数，这样就可以利用无约束优化问题的极值求解。由l个等式约束方程可以得到表达式→即将n个变量中的前l个变量用其余n-l个变量表示。一、消元法即通过减少变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题。对于n维情况：minf(x)s.t.hk(x1,x2,…,xn)=0(k=1,2,…,l)通过增加变量将等式约束优化问题变成无
3、约束优化问题。对于具有l个等式约束的N维优化问题：minf(x)s.t.hk(x)=0(k=1,2,…,l)为了求出f(x)的可能极值点x*=[x1*x２*…xn*]T，引入拉格朗日乘子k(k=1,2,…,l)，并构成一个新的目标函数：把F(x,)作为一个新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，所得结果就是在满足约束条件hk(x)=0的原目标函数f(x)的极值点。二、拉格朗日乘子法F(x,)具有极值的必要条件：由此可得n+l个方程，从而解得x=[x1x２…xn]T和k(k=1,2,…,l)共n+l个未知变量的值。由上述方程组求得的x*=[x1*x２*…xn*]T是函数f(x)极值点
4、的坐标值。用拉格朗日乘子法计算在约束条件下h(x1,x2)=2x1+3x2-6=0的情况下，目标函数f(x1,x2)=4x12+5x22的极值点坐标。拉格朗日乘子法解等式约束例题解：拉格朗日乘子函数为F(x,λ)=4x12+5x22+λ(2x1+3x2-6)，则连立求解得到：x1=1.071，x2=1.286，λ=-30/7即极值点为x1*=1.071，x2*=1.286在工程上大多数优化问题都可表示为具有不等式约束条件的优化问题，故研究不等式约束极值条件是很有意义的。不等式约束的多元函数极值的必要条件是库恩-塔克条件，它是非线性优化问题的重要理论。不等式约束优化模型为：第六节不等式约束优化
5、问题的极值条件为了便于理解，先分析一元函数在给定区间上的极值条件。h1(x,a1)=g1(x)+a12=a-x+a12=0h2(x,b1)=g2(x)+b12=x-b+b12=0利用拉格朗日乘子法可得到上述优化问题的拉格朗日函数：F(x,a1,b1,u1,u2)=f(x)+u1h1(x,a1)+u2h2(x,b1)=f(x)+u1(a-x+a12)+u2(x-b+b12)其中u1和u2是对应于不等式约束条件的拉格朗日乘子，应满足非负的要求，即：u1>=0u2>=0一、一元函数在给定区间上的极值条件对于一元函数f(x)在给定区间[a,b]上的极值问题，首先引入松弛变量变量a1和b1将不等式约束
6、变成等式约束，即：根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件是：分析u1a1=0，只有两种情况，即：u1=0,a1≠0;u1>=0,a1=0①当u1>=0,a1=0时，g1(x)=a-x=0，约束起作用，即为x=a的情况。②当u1=0,a1≠0时，g1(x)=a-x＜0，约束不起作用，即为x>a的情况。上式表明，u1与g1(x)至少必有一个为0，因此，可将u1a1=0的条件写成：u1g1(x)=0。同理，也将u2b1=0的条件写成：u2g2(x)=0。为起作用约束，即x=a为不起作用约束，即x>a上述分析可表示为：根据上述讨论，一元函数f(x)在给定区间上的极值条件可表示为：在给定区间[a,b]上
7、，上式中的第一式可简化为：0xf(x)x*=ab0xf(x)ax*=b1)当a=0,u2=0，极值条件为3)当x*=b时，u1=0,u2>=0，极值条件为0xf(x)ax*b分析极值点x*在区间[a,b]中所处的位置，有三种可能的情况：一元函数极值条件式可写成：对应于不起作用约束的拉格朗日乘子取零值，引入起作用约束的下标集合:对于多元函数不等式约
