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1、考研试题分析八（多元函数微分学）例1.(1991年数学一、二)222由方程xyz+x+y+z=2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,−1)处的全微分dz=__________[答案]dx−2dy[分析]本题是隐函数全微分的题.有两种方法:其一是对方程两边求全微分,解出∂z∂z∂z∂zdz,另一种方法是先求出,.再利用全微分公式dz=dx+dy.∂x∂y∂x∂y[解法一]对方程两边求全微分可得xdx+ydy+zdzyzdx+xzdy+xydz+=0222x+y+z将x=1,y=0,z=−1代入上式可得1−dy+(dx−dz)=0
2、2由此得到dz=dx−2dy222[解法二]设F(x,y,z)=xyz+x+y+z−2xyzFx′=yz+;Fy′=xz+;Fz′=xy+222222222x+y+zx+y+zx+y+z222′222∂zFx′x+yzx+y+z∂zFyy+xzx+y+z=−=−;=−=−∂xF′z+xyx2+y2+z2∂yF′z+xyx2+y2+z2zz222222x+yzx+y+zy+xzx+y+zdz=−dx−dy222222z+xyx+y+zz+xyx+y+z将x=1,y=0,z=−1代入上式可得dz=dx−2dy例2.(1998年数学一)2
3、1∂z设z=f(xy)+yϕ(x+y),f,ϕ具有二阶连续导数,则=__________.x∂x∂y[答案]yf′′(xy)+ϕ′(x+y)+yϕ′′(x+y)1[分析]这是一道基本运算题,求复合函数的导数.依题意f,ϕ是一元函数.∂z11[解答]=−f(xy)+f′(xy)y+yϕ′(x+y);2∂xxx2∂z11y=−f′(xy)x+f′(xy)+f′′(xy)x+ϕ′(x+y)+yϕ′′(x+y)2∂x∂yxxx=yf′′(xy)+ϕ′(x+y)+yϕ′′(x+y)[点评]本题中的f(xy),ϕ(x+y),其中间变量均是一元,
4、如果考生误认为中间变量是二元,将出现f′,f′,ϕ′,ϕ′等记号,从而无法化简导致错误.xyxy∂∂f(xy)=f′(xy)(xy)=yf′(xy),∂x∂x∂∂f(xy)=f′(xy)(xy)=xf′(xy).∂y∂y都是用f′(xy)表示,而不能将前一式写成∂f(xy)=yf′(xy),x∂x后一式写成∂f(xy)=xf′(xy).y∂y∂∂对于ϕ(x+y)亦如此,ϕ(x+y)=ϕ′(x+y).∂x∂x而2000年数学一第四题xy设z=f(xy,)+g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求yx2∂z.∂x∂yxy
5、这个题目从题设条件中就可看出f(xy,),g()的不同,前者二个中间变量,后者yx一个中间变量,要区别开.∂z1y=yf′+f′−g′122∂xyx2∂zx11x1y=f′+y(xf′′−f′′)−f′+(xf′′−f′′)−g′−g′′111212222122223∂x∂yyyyyxx21x1y=f′−f′+xyf′′−f′′−g′−g′′1221132223yyxx例3.（2001年数学一）∂z∂z设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微,f(1,1)=1,=2,=3,∂x∂y(1,1)(1,1)d3ϕ(x)=f(x,f(x,
6、x)),求ϕ(x)dxx=1[分析]求全导数,应用多元复合函数求全导数的法则求之.关键是弄清复合函数的复合关系.如果ϕ′(x)=f′(x,f(x,x))+f′(x,f(x,x)),就少复合了一次.12[解]ϕ(1)=f(1,f(1,1))=f(1,1)=1.d32d2dϕ(x)=3ϕ(x)ϕ(x)=3ϕ(x)f(x,f(x,x))dxdxdx2=3ϕ(x)[f′(x,f(x,x))+f′(x,f(x,x))(f′(x,x)+f′(x,x))]1212取x=1,由于f′(1,1)=f′(1,1)=2,f′(1,1)=f′(1,1)=3
7、,故1x2yd3ϕ(x)=3ϕ(1)[f′(1,1)+f′(1,1)(f′(1,1)+f′(1,1))]=3(2+3(2+3))=51.xyxydxx=1例4.(2002年数学一)考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x,y)处连续,00②f(x,y)在点(x,y)处的两个偏导数连续,00③f(x,y)在点(x,y)处可微,00④f(x,y)在点(x,y)处的两个偏导数存在.00若用"P⇒Q"表示可由性质P推出性质Q,则有()(A)②⇒③⇒①;(B)③⇒②⇒①;(C)③⇒④⇒①;(D)③⇒①⇒④.[答案](A)
8、[分析]本题考查下面因果关系的认知:①②③3④记住上述因果关系,不难看出应选(A).如果误认为偏导数存在必然为连续函数,就有④⇒①,就选择了(C).错误在于把一元函数的情形搬到二元函数中来了.例5.(2001年数学二)2x+y设函数y
