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《多自由度线性阻尼系统的模态分析法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、!年月固体力学学报第∀期多自亩嗽经性租尼系统的模态分析法’方同#西北工业大学∃仁%∀,、、提要本文将文献中所述的模态展式推广到系统质量阻尼刚度矩阵均为非对称的情形!在论证中利用了伴随矩阵的特点,推导较为简捷!、一弓&言!,人们在考察多白由度线性系统的动响应时常常采用模态分析法比较熟悉的是基于实模态,#无阻尼系统的模态∃的分析法但这种方法只适用于系统的阻尼矩阵可借实模!态变换进,行对角化的情形为了克服这一困难人们建立了基于复模态#线性阻尼系统的模态∃的分析法,!但只是近些年来才得到工程上的重视和应用有关复模态分析的代表!
2、〕〔,∋性文献有〔一%〕总的说来建立系统响应的模态展式的方法大体有三种一种是将,。(。)∗+’∀,−。一个自由度的系统化为个一阶系统来处理一种是先对个二阶方程组找出,川,特征矢量之间的正交关系再建立系统响应的展式−另一种是利用拉氏变换先建立,,,〔./!三种方法异曲同土传递函数的模态展式再求系统的响应得到的展式完全一致只是展式建立的途径不同!,、、￡习阻尼刚度矩阵为非本文采用第三种论证方法将文献的结论推广到系统质量!!对称的情形,亩于在论证中利甩了伴随矩阵的特点故简捷地得到了模态展式、二本征运动”设个自由度的线性非保守系统
3、的运动微分方程可表示为0牙12分13二4了#5∃#+∃。6,,6,、、式中二为∗阶位移列阵7#5∃为∗阶扰力列阵而023分别为系统的质量、阻、,86”!!尼刚度矩阵它们都是阶实数矩阵我们假设0与3是正定的关于!工9年%月:日收到∋第∀期方同多自由度线性阻尼系统的模态分析法阻尼矩,)’,!阵2假设它不满足可以用实模态变换进行对角化的条件系统的本征运动微分方程可表示为0云12毖1劣49#(∃3∋本征运动可设为如下形式<,‘戈4;#∀∃.代表待定特征值,,,式中#一般为复数∃;代表待定特征矢量一般为复矢量对应于系!,统的复模态
4、将#∀∃式代入方程#(∃得〔.=01.213〕;49#>?∃定义本征矩阵≅#.∃为刀#‘∃二.=01‘21#%∃3方程#>?∃可写成≅#.∃尤49#>Α∃这一方程有非零解的条件为△#.∃二】≅#.∃卜。#:∃!它称为系统的特征方程.,#,’4,(,8∃称为特征值,它们可这一方程的(8个根⋯、!、、以是实数虚数或,复数按假设023都是实数阵这时系统的复数#或虚数∃特征!当阻尼矩阵,根必定共扼成对地出现2正定时特征值就只能取负实数或具负实部的复!!对.,,,#带一个任意常数乘子∃数应于每个特征值由方程#>∃可确定一特征列矢量;
5、!,它确.,−定着系统的某种本征运动形式当为虚数时它对应着系统的正弦型保守振动当,,,.+为负实数时它对应着系统的自由衰减运动当勺为具有负实部的复数时它对应着系统中具有特定的频率与减幅率的自由衰减振动!当./为正实数或具有正实部的!,6复数时它对应着系统的发散运动所有这些特征列矢量可构成一个列矢模态矩阵#8(8,∋阶∃或称右模态矩阵∋=,巾二〔;⋯;〕#Β∃,,∋数学上从本征矩阵刀#.∃还可按下述方程ΧΔ.∃49#∃刀#对应于.,Φ;。,各个特征值确定一系列特征行矢量Ε于#阶∃所有这些特征行矢量可构成一个(968,∋行矢模态
6、矩阵#阶∃或称左模态矩阵。Δ加Φ月!Γ<Χ户、∗Γ<.<∗Χ、(∗&&Δ梦一#∃当,,本征矩阵为对称阵时特征行矢量就是特征列矢量的转置故有了4巾,,梦当刀#.∃对称时固体力学学报吕年、三传递函数矩阵!我们来考察本征矩阵≅#.∃的逆阵Η#.∃称为系统的传递函数矩阵Η#.∃的模态展!,式由众知的逆阵公式有?∋一主ϑΚ刀#∃双#忿∃4刀#Ι∃二Λ#.∃?.ϑΚ刀#∃(月#9∃#.一.,Φ0Κ8∃!?#.∃的伴随矩,,8代表连乘符号#9∃式中ϑΚ≅幼是≅阵Μ0Μ是质量矩阵0的行列式∋式右端可展成部分分式Η#.∃4一选‘1
7、⋯十一鱼二一丝,Ι一万占一%(4套六#∃。“。,∋上式中各个待定的阶矩阵Λ可确定如下‘4#.一一’∋一.+Λ+动≅#.∃&Ν?ϑΚ≅#.∃?ϑΚ≅#.‘∃△,#%∃‘.,一.Π∃Ο0Μ8##(∃井Μ式中,∋,∋,△#∃二△#∃&⋯告!,下面证明?ϑΚ≅#.+∃可以用特征列矢量;与特征行矢量Ε于的乘积来表示由逆阵的公式,#9∃有?..∃一’4ϑΚ≅#∃?刀##9∃△#.∃对上式两端前乘,以△#.∃≅#.∃可得△#.∃Φ4≅#泞∃?ϑΚ≅#.∃#9Α∃当.“.,时,上式成为≅#%(∃?ϑΚ≅#.,∃49#>Α∋二
8、.,,,?.,考虑到∃式在时有唯一确定的规范化解从上述方程可以断定ϑΚ≅#∃中各!,列均与;差一任意常数乘子△,可得再对#9?∃式两端后乘以≅脚#.∃△#Ι∃Φ4〔?ϑΚ刀#.∃〕≅#.∃Θ#9∃当∋二凡时,上式成为∋第∀期方同多自由度线性阻尼系统的模态分析法〔?ϑΚ≅#.,∃〕≅#%
