天津大学10112工科数学分析第二阶段考试试卷答案.pdf

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1、2010～2011学年第2学期第二阶段考试试卷《工科数学分析》答案一、填空题（每小题4分，共16分）请把正确的答案填在每题中的横线上方。31.设f(u)是关于u的奇函数，D是由x,1yx,y1所围成的平面区域，则32[(xfxyxy)]dd.7D222.设L是圆周xy2x，则yxxydd2.L解：根据格林公式，得ydxxdy1[(1)]dxdy2Lx2y22x2223.A(xyz)i(yxz)j(zxy)k的散度为222xyz.222234.二重积分axydxdya.2223xya二、

2、单项选择题（每小题4分，共24分）请把正确选项填入题后的括号内。1.设(x)为区间]1,0[上的正值连续函数，a与b为任意常数，区域a(x)b(y)D(x,y0)x,y1，则dxdy（D）(x)(y)D1（A）a；（B）b；（C）ab；（D）ab。222222.设{(,,)xyzxyza}，在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（B）222（A）xd,Sxyddz.（B）xd,Sxyddz.外外（C）xd,Sxddyz.（D）xySd,yzxdd.外外2解

3、：因为关于x0（即yOz平面）对称，x和xy是x的奇函数，而x是x的4224πR偶函数，故第一类曲面积分xSd0,dxyS0，xSd2xSd3；半132224πR而第二类曲面积分xyzdd2xyzdd2Ryzyzdd3，外上侧yzR222上半324πRxyzdd0.类似地，有yzxdd2yzxdd3.外外前侧前半3.：正方体0x0,1y0,1z1表面外侧，f(z)在1,0上连续，则f(z)dxdy（D）(A)f)0((B)f)1((C)f)

4、1(f)0((D)f)1(f)0(2224.设L为下半圆周xyR(y)0，则L(x2y)ds（C）022(A)R(cost2sint)dt(B)R(sint2cost)dt0022(C)R(cost2sint)dt(D)R(sint2cost)dt02222225.计算球面xyz4a与柱面xy2ax所围成的立体的体积，则正确的解法为（D）2acos2acos222222（A）V=20d0r4ardr（B）V=40d04ardr2acos2acos222222（C）V=8dr4ar

5、dr（D）V=2dr4ardr000222226.设是球面xyza的内侧（a0），为所围空间闭球，则按高斯公式333曲面积分zdxdyydzdxxdydz可表示为（C）22（A）3adv（B）3adv2222（C）3rrsindrdd（D）3rrsindrdd三、计算下列各题（每小题8分，共40分）1yyy1y1.计算I2dyexdxdyexdx.111y422解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到21yyyy1y1x1x31I2dyexdx

6、dyexdxdxexdyx(eed)xee.111y1x21824222222222.计算zdxdydz，其中为锥面zxy和平面z2所围成的闭区域.2232224解：zdxdydz00zdzdxdyzdz5Dz22223.已知曲线L是平面xyz0与球面xyzR的交线，计算曲线积分22()xyzdl.L解法1由于曲线L的方程中的变量x,y,z具有轮换对称性，所以x2dly2dlz2dl，LLLxdlydlzdl，LLL2222222243因此(xy)dl(xy

7、z)dlRdlR，L3L3L311zdl(xyz)dl0dl0，L3L3L222243从而(xyz)dl(xy)dlzdlR.LLL3xyz0解法2直接化成定积分进行计算。曲线L：2222在xy平面的投影曲线xyzR2R23x2R2是一椭圆，其方程是x2xyy2，即xy。22223RxR令xcost,ysint，0t2，则曲线L的参数方程为222232xRcost,3RRysintcost,0