天津大学10112工科数学分析第一阶段考试试卷答案.pdf

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1、2010～2011学年第2学期第一阶段考试试卷《工科数学分析》答案一、填空题（每小题4分，共20分）请把正确的答案填在每题中的横线上方。2221.设f(x,y)xyxy，则f'(3,4).x5sinx2.f(x,y)，在点(0,1)处的全微分d(f0,1)dx.2y2y3.函数zxe在点P)0,1(处的沿从点P)0,1(到点Q,2()1方向的方向导数为1.2pqpqz4.z(xa)(yb)，则p!!q.pqxyy5.lim不存在.2x0xyy0二、单项选择题（每小题4分，共12分）请把正确选项填入题

2、后的括号内。1.函数f(,)xy在点(,)xy连续是二重极限存在的（A）00A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件fxy(,)2．（C）y(,)xy00limf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)limAy0yBx0xf(x,yy)f(x,y)f(x,yy)000000limlimCy0yDy0y3.下列命题正确的是（B）A两个累次极限存在且相等，则二重极限必存在B重极限与累次极限均存在，则它们必相等C重极限存在，则累次极限一定存在D重极限不存在，则

3、累次极限也不存在1三、计算下列各题（每小题7分，共49分）1.设f(x,y)具有连续偏导数，且fff(1,1)1,(1,1)2,(1,1)3.如果xy(x)f(x,f(x,x))，求)1(.dxf()fdyx()解(,())xyx(,())xyx，dxxydxdyx()ff其中yx()fxx(,)，(,)xxx(,)x.dxxy由于yf(1)(1,1)1，以x1代入上述等式，得到'(1)ff(1,1)(1,1)(ff(1,1)(1,1))17.xyxy222xyt2xffyf2

4、.设f(,)xyetd，求2.0yx2xyxy222fx22yfx22yf3x22yfx22yx2222y解ye，xe，2xye，ex2ye，2xyxyx2222f3x22yxffyfx2y22xye.所以22e.222yyxxyxy3.在马鞍面zxy上求一点，使得这一点的法线与平面x3yz90垂直，并写出此法线的方程.yx1解马鞍面的法向量(,,1)yx与(1,3,1)平行，所以，即131yx1,3,zxy3，于是该点为(

5、3,1,3)，在该点处的法线方程为1x3(y)1z3.3www4.设wf(x,u,v)，ug(y,z)，vh(x,y)，求,,.xyzwffvwfufv解ffh,fgfh,xvxuyvyxxvxyuyvywfufg.uzzuz22zz5.已知zfxyx(,)yfuv,(,)可微，求,.xxy2zzzff(xy)fxyf1121222解：x=f1f2yy=f1f2x,xy44226.求f(x,y)xy

6、x2xyy的极值.3fxxy4220x解：先求驻点。由，两式相减，可解得xy0,1，3fyxy4220y22即驻点为)0,0(，)1,1(，(,1)1三点。再由fx122，f2，fy122，xxxyyy22可知Hxy4(61)(61)4.驻点)1,1(，(,1)1满足H0，所以是极值点，再根据f的符号，可知函数在)1,1(，xx(1,)1两点取极小值2.224在)0,0(点，有H0，且f(0,0)0.由于fxx(,)2(xx2)，f(,)2xxx，可知函数在

7、)0,0(点附近变号，所以)0,0(不是极值点.2227.设椭球面2x3yz6上点P)1,1,1(处指向外侧的法向量为n，求函数226x8yu在点P处沿方向的方向导数.nz(4,6,2)xyz(2,3,1)解曲面的单位法向量为n，将点P)1,1,1(的坐标代入，得到n=。(4,6,2)xyz14于是，函数在点uP处沿方向n的方向导数为uuuu68(2,3,1)11,,n,,14.nxyz1414147四、计算下列各题（第1题10分，第2题9分，共19分）2222zzux

8、y,1.设zf(x,y)具有二阶连续偏导数，写出在坐标变换22xyv2xy下的表达式.zzuzvzz解22xy，xuxv