分析力学习题(例题).pdf

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1、1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程。解：拉格朗日方程为：dLL0(1,2,3)dtqqL为拉格朗日函数LTU笛卡尔坐标中的坐标变量为x123,,xx，那么32Tmxi/2i132所以，LTUmxi/2Uxxx(,,)123i13L2mxii/2Uxxx(,,)123mxxxiii13LU2mxi/2Uxxx(,,)123xiixxi1i带入拉格朗日方程得到Umx

2、F(1i,2,3)iixi这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程即牛顿第二定律2.已知柱坐标(,,)z与笛卡尔坐标的关系是xyzcos,=cos,z如图．设质点在轴对称势能场U()中运动，写出其拉格朗日方程。解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知ddddreeezzz等式两边同时除以dtrreeezzzy那么，系统的动能为x1122222T=mmr()z22那么，系统的拉格朗日函数为12222LTU=m()zU()2所以

3、LU2()LLm00zLL2Lmmmzz带入拉格朗日方程，则有：2dU()d2mm,()m0z0ddt3.长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照XAsin(tt0)方式运动，如图所示，小球被限制在(,)xz平面内运动，tt0时悬线铅直向下。（a）求悬线和竖直线偏离所对应的虚位移r（b）已知在这一时刻的角速度为，求经过dt时间后的位移dr。问：当d0t时，与drr有何差别？M解：（a）在任意时刻，约束所容

4、许的位移为虚位移，途中l的小球，受到细绳的和自身mx重力的约束，在这个时刻，3小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为时，对应的虚位移为l。（b）小球经过dt时间后的位移，可以看作由两部分组成：（1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移ltde（2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位移XtAdcos()ttted0XM所以，小球的位移为ddrlteAcos()tttdel0Xmdr和r的区别如图所示：x3MMllrdrmmx3x3虚位移和实际位移的主要区别在于虚位

5、移只和约束有关。实际位移除了和约束有关以外，还和物体当前的运动状态有关。4.长度同为l的轻棒四根，相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接，在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的夹角为2,试用虚功原理求平衡时联结棒BDA中的张力FT，讨论FT的方向2ll2a与的大小的关系。问：在BD什么情况下有FT0，说明其ll意义。CWA解：虚功原理2l

6、l()2aF主r0BDFFTT为了求棒中的张力，可将棒的约ll束予以“释放”，以张力FT作为CW主动力代替棒。此时系统的自由度为1，系统受3个外力作用：作用于B的张力FT，作用于D的张力FT，作用于C点的W。坐标系：两根钉连线的中点为坐标原点，连线所在直线为x轴（向右为正），垂直连线为y轴（向下为正），并取为广义坐标。B、D点的x坐标：xlsinxlsinBDaC点的y坐标：yl2cosCtanFrFrWr()0TBTDCFi()xiyj(

7、Fi)()xiyjTBBTDDWj()xiyj0CCFxFxWy0TBTDCxlcosBxlcosDayl(2sin)C2sin最后可得：22cFlos2s+WlincWasc0T2a即有：FalWW/(2sincos)tan=Wtan（）-1T32sinlaF0sin3杠对B的作用力向外T2laF0sin3杠对B的作用力向内T2laF0sin3T杠对B无作用力2l9．质量为M的斜面可以无摩擦地

8、在水平桌面上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块m，如图所示。写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度X和滑块相对于斜面的加速度x。x解：系统的拉格朗日函数为11222OLm(cXxos)mxsin221X2xXxcosMXmgxsin12xxsi