2010高中联赛解答-讲解版.pdf

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1、蕴秀斋2010全国高中联赛一试解答一、填空题：（88×=64分）1、函数f()xx=−5−24−3x的值域是⎡−3,3⎤。⎣⎦解：在fx()的定义域[5,8]内x−5和−24−3x都是单调递增的，因此值域为[ff(5),(8)]=−⎡⎤3,3。⎣⎦232、已知函数ya=(cosx−3)sinx最小值是−3，则实数a取值范围是−≤≤a12。223解：令sinx=t，则yf==()tt()a(1−t)−3=−at+(a−3)t在t∈−[1,1]的最小值为−3，32因此t∈−[1,1]时ft()+=3−at+(a−3)t+3=(t−1

2、)(−at−at−3)≥0，而f(1)=−3。2由于t−≤10，因此问题等价于当t∈−[1,1]时(−at−−at30)≤⇔at(t+1)≥−3(*)。当t=0,−1时，(*)显然成立；1当−<1t<0时，≥−tt(1+)>0，由于(*)对任意−1<

3、线x=100围成的区域内部（不含边界）格点个数是9800。22解：相当于求满足1≤x≤99，并且xy>+1的格点个数。而1≤x≤99中除了(1,0)之外，22所有的满足x>y的个点都满足xy>+1，故相当于求yx=±和x=100围成的区域内2部的格点个数减去1的值，因此为3++57+...+197=99−1=9900。上善若水蕴秀斋4、已知{a}是公差不为0的等差数列，{b}是等比数列，其中ab=3,=1,a=b，nn11223a=b，且存在常数α,β使得对于每个正整数n都有a=logb+β，则53nαn3α+=β33+。2解：

4、设{a}的公差为d，{b}的公比为q。则3+d=q，3(3+4d)=q，由此解得d=6，nnn−1q=9。因此对于每个正整数n都有36+(n−=1)log9+β，也即α36nn−≡3()log9+(β−log9)，故log9=6，−3=−βlog9，故β=3，α=3，αααα3α+=β33+。2xx5、函数fx()=+a3a−2(a>0,a≠1)在区间[−1,1]内的最大值是8，则在此区间的最1小值是−。4x2x解：令y=a，f()xy=+3y−2在y>0严格递增。a也是单调函数。⎡1⎤⎛⎞11当0

5、时，ya∈⎢,⎥，所以f⎜⎟=8，解得a=，此时fy()⎣a⎦⎝⎠a2⎛⎞11最小值为fa()=f⎜⎟=−。⎝⎠24⎡1⎤当a>1时，则x∈−[1,1]时，y∈⎢,a⎥，所以fa()=8，解得a=2，此时f(y)最⎣a⎦⎛⎞11⎛⎞1小值为ff⎜⎟=⎜⎟=−。⎝⎠a⎝24⎠1综上所述，此区间的最小值是−。46、两人轮流掷骰子，每人每次掷两颗骰子，第一个得到两个骰子点数和大于6者获胜，先12掷骰子者获胜的概率为。17155解：设概率为P，每人每次掷出点数≤6的概率为=，因此甲失败的概率为36125121−=PP，所以P=。1217

6、上善若水蕴秀斋7、正三棱柱ABC−ABC的9条棱长都相等，P是CC的中点，二面角BA−−PB′=α，1111110则sinα=。4解：设O为AB,AB的交点，由已知AB⊥AB，111122由于PA=+9(9/2)=PB，O为AB中点，11因此也有AB⊥PO，因此AB⊥PAB。111在平面PAB上作OE⊥AP，由于11AB⊥AP，因此AP⊥ABE，所以1111BE⊥AP。因此α=∠BEO。111令9条棱长都是2，则PB=PA=5，1AO==BO2，因此PO=3。因此11AO⋅OP61OE==，BO=2，由于AB⊥PAB，所以∠BO

7、E=90°，因此1111AP1564BO101BE=+2=，所以sinα==。155OE48、方程xy++z=2010满足x≤y≤z的正整数解(,xyz,)的组数为336675。2解：此方程正整数解的个数为C=2009×1004，显然其中满足x=y=z的解只有1个；2009满足xy=≠z的解有1003组，因此恰好有两个变量相等的解有A=1003×=33009组；因此x,,yz互不相等的解有B=×20091004−1−3009=2014026组。在第二类解中x=y

8、量的6种排列恰好一种满足要求，因此满足要求的解的总数为1++1003=336675。6上善若水蕴秀斋二、解答题（满分56分）329、f()x=+axbx+cx+d(a≠0)，当01≤x≤时，fx′()≤1。求a的最大值。（16分）2⎛⎞13解：f′()xa=+3