《平面向量的数量积及运算律》优质课比赛.ppt

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1、无论你是狮子还是羚羊你都必须奔跑在辽阔的非洲大草原上，当黎明的曙光刚刚划破夜空，一只羚羊从梦中猛然惊醒。“赶快跑！”它想到。“如果跑慢了，就可能被狮子吃掉！”于是，它起身就跑，向着太阳飞奔而去。就在羚羊醒来的同时，一只狮子也惊醒了。“赶快跑!”它想到，“如果慢了，就可能会被饿死！”于是，起身就跑，也向着太阳飞奔而去。一个是自然界兽中之王，一个是食草的羚羊，等级差异，实力悬殊，但面临着的是同一个问题：为了生存而奋斗！人与人之间的竞争，不仅仅是实力的竞争，更是行动速度，效率的竞争！无论你是优等生还是一般生你都必须奋斗平面向量的数量积及运算律定义：一般地，实

2、数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

3、λa

4、=

5、λ

6、

7、a

8、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

9、F

10、

11、S

12、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。θ=180°θ=90°向量的夹角已知两个非零向

13、量a和b，作OA=a,OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。θ=0°特殊情况OBAθOBA当θ=0°时，a与b同向当θ=180°时，a与b反向。OBAOBAθθ=90°，a与b垂直，记作a⊥b。说出下列两个向量a和b的夹角的大小是多少？ba(1)40O╮(2)abab(3)┐ab(5)ab60O(6)60Oba(4)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

14、a

15、

16、b

17、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=

18、a

19、

20、b

21、cosθ定义规定:零向量与任一向量的数量积为0。注意：向量的数量积是一个数量。探

22、究：两个向量的数量积与向量同实数积有那些区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab=bc能否推出a=c？(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。解：a·b=

23、a

24、

25、b

26、c

27、osθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10。例1已知

28、a

29、=5，

30、b

31、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。练习：p130---2,3OA=a，OB=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=

32、b

33、cosθ。

34、b

35、cosθ叫做向量b在a方向上的投影。θ为锐角时θ为钝角时θ=90°θ=0°θ=180°投影也是一个数量，不是向量；OABθ

36、b

37、cosθabB1OBA当θ=0°时，

38、b

39、cosθ是

40、b

41、OBA当θ=180°时，=

42、b

43、cosθ是－

44、b

45、。OBAθ当θ=90°，

46、b

47、cosθ是0。OBAθB1ab当θ为锐角时

48、，

49、b

50、cosθ是正值；OBAθB1当θ为钝角时，

51、b

52、cosθ是负值；数量积的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的乘积。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

53、a

54、

55、b

56、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则（1）e·a=a·e=

57、a

58、cosθ重要性质:（5）

59、a·b

60、≤

61、a

62、

63、b

64、a·b

65、a

66、

67、b

68、（4）cosθ=（3）当a与b同向时，a·b=

69、a

70、

71、b

72、当a与b反向时，a·b=

73、-

74、a

75、

76、b

77、特别地，a·a=

78、a

79、2或

80、a

81、=√a·a。（2）a⊥ba·b=0(6)(a+b)2=a2+2a·b+b2四.课堂练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0------(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0--(3)若a≠0,且a·b=0,则b=0-------------------(4)若a·b=0,则a=0或b=0---------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2----------------(6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c------------------（

82、7）a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.(√)(×)(×)(×)(√)(×)(√)1.a·b=