二次函数中数形结合思想的运用.doc

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1、二次函数中数形结合思想的运用数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年各地屮考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用.一、二次函数与系数之间的关系1•二次函数的一般式是：y二ax2+bx+c,其中aHO,此函数的对称轴是x=-b2a,顶点处标是(~b2a,4ac_b24a)・2•函数式中的参数&的正负决定开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴右边的函数图象y随x的增大而增大，左边的图象y随x的增

2、大而减小；当M0时，开口向下，在对称轴右边的函数图象y值随x的增大而减小，左边的图象y随x的增大而增大，整个图形是对称的•然而a的大小决定了二次函数的开口度的大小，&越大开口度越小，a越小开口度越大.3•与x轴交点的情况•当y二0时，是二次方程，当A>0时，则此二次函数与x轴有两个交点；当A二0时，二次函数与x轴有且只有一个交点；当△〈()时，二次函数与x轴没有交点.4.二次函数的表达式还有以下几种交点式：y=a(x-xl)(x-x2),其中aHO,xl>x2是该函数y二0时的两个根.顶点式：y=a（x-k）2+h,其中a7^0,而（k

3、,h）是二次函数的顶点坐标.二、以形解数图1例1已知点（T,yl）,（-3,y2）,（2,y3）在y二3x2+6x+2的图象上，贝tl：yl、y2、y3的大小关系为（）(A)yl>y2>y3(B)y2>yl>y3(C)y2>y3>yl(D)y3>y2>yl分析:由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图1,由图象可以看出:抛物线的对称轴为直线x二-1.即：X=-1时，y有最小值，故排除（A）、（B）,由图象可以看出：x二2时y3的值，比x二-3时y2的值大，故选（C）・三、数形结合可以求得平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小图2

4、例2如图2,把此抛物线绕顶点旋转180°,则该抛物线对应的解析式为：・若把新的抛物线再向右平移2个单位，向下平移3个单位，则此时抛物线对应的函数解析式为：・解:（1）由于是绕顶点旋转180°,所以顶点的坐标不变，对称轴不变，所以设原抛物线的解析式为：y二a（x+1）2+4,又因为过A点（1,0）,代入解析式得到：沪T，所以原函数的解析式为：尸-（x+1）2+4,故绕顶点旋转180。后，只有开口变了，所以新函数的解析式为：y二(x+l)2+4.(2)因为抛物线图象的平移本质上是把握点的平移•只要把握好规律，结合图形的变换，做到左“+”右“

5、-”，上“+”下这样就很容易得到此时的函数解析式：y二(x-1)2+1.例3若A(-1,yl),B(-2,y2)是抛物线y二a(x-1)2+c(a>0)上的两点，则yly2(填或二).图3变式1：若A(-1,yl),B(4,y2)是抛物线y二且(x-1)2+c(a>0)上的两点，则yly2(填或二).变式2：若A(m,yl),B(in+2,y2)是抛物线y二a(x-1)2+c(a>0)上的两点，当m取何值时,yl二y2?yl>y2?解：因为&>0,开口向上，又从图中看到x=l是函数的对称轴，又因为函数图象与y轴的交点在y轴的负方向，所以

6、c〈0,所以得出：当xNl时，y随x的增大而增大；当x〈0时，y随x的增大而减小.因此:(1)因为-2<-1<0,所以yl

7、xl~x2

8、=2,即xl、x2关于x=l对称，所以就有：

9、m-(m+2)

10、=2,解得：mER,所以无论m取何值，yl二y2；很明显my2,从图象可知：在对称轴的右侧，则只要就行.解决二次函数的实际问题时，注重从“形”到“数”的有机结合•要让学生潜移默化的应用这种思想解决实际问题，方法往往渗透于知识之中.进一步提高学生的思维水平.［江苏省兴化市昭

11、阳湖初级中学(225700)]