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1、第五章循环码要求掌握的内容根据多项式会写循环码的生成矩阵和校验矩阵会写循环码生成和校验矩阵的系统形式会画循环码的编码电路由生成多项式的根定义循环码第一节循环码(P145)定义循环码的生成多项式和校验多项式循环码的生成矩阵和校验矩阵循环码的系统码形式一、循环码定义定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。定义2：设是n维空间的一个k维子空间，若对任一恒有则称Vn,k为循环子空间或循环码问题一如何寻找k维循环子空间？ 如何设计[n,k]循环码？——利用
2、多项式和有限域的概念注：1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对应的关系注：1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对应的关系2、模n多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环Fp[x]/F(x)，若在环中再定义一个数乘运算，即则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间，定义为剩余类结合代数。问题一转化为如何从模多项式xn-1的剩余类结合代数中寻找循环子空间？定理以多项式xn-1为模的剩余类线性结合代数中，其一个子空间Vn,k为循环子空间(或循环码)的充要条件是：Vn,k是一个理想。循环码是模xn-1的剩余类
3、线性结合代数中的一个理想。问题二如何从多项式剩余类环中 寻找理想？由于1、多项式剩余类环中任何一个理想都是主理想——主理想中的所有元素可由某一个元素的倍式构成2、在主理想的所有元素中，至少可找到一个次数最低的首一多项式g(x),即生成多项式问题三如何寻找生成多项式g(x)？循环码模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理想生成多项式二、生成多项式和校验多项式两个定理定理1(p147):GF(q)(q为素数或素数的幂)上的[n,k]循环码中，存在唯一的n-k次首一多项式g(x)，每一个码多项式C(x)必是g(x)的倍式，每一个小于等于(n-1)次的g
4、(x)的倍式一定是码多项式两个定理定理2(p148):GF(q)(q为素数或素数的幂)上[n,k]循环码的生成多项式g(x)一定是xn-1的n-k次因式：xn-1=g(x)h(x)。反之，若g(x)为n-k次多项式，且xn-1能被g(x)整除，则g(x)一定能生成一个[n,k]循环码两个结论结论1:找一个[n,k]循环码，即是找一个n-k次首一多项式g(x)，且g(x)必是xn-1的因式。结论2:若C(x)是一个码多项式，则反之，若，则C(x)必是一个码多项式ExamplesGF(2)上，x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)试求
5、一个[7,4]循环码。g(x)、xg(x)、x2g(x)、x3g(x)、三、循环码的生成矩阵和校验矩阵g(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵四、循环码的系统码(P151)——模g(x)的除法问题由于生成矩阵G中的k行要求线性无关，因此在求余式时，可选择k个线性无关的信息组(1,0,0,…,0)xk-1，(0,1,0,0,…0)xk-2,…(0,0,0,…,0,1)1表示ri(x)的系数循环码的编码原理(1)基本步骤([n,k])1、分解多项式xn-1=g(x)h(x)2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式3、由g(x)可得到k个多项
6、式g(x),xg(x),…xk-1g(x)4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵5、取h(x)的互反多项式h*(x),取h*(x),xh*(x),…xn-k-1h*(x)的系数即可构成相应的校验矩阵可选择k个线性无关的信息组(1,0,0,…,0)xk-1，(0,1,0,0,…0)xk-2,…(0,0,0,…,0,1)1循环码的编码原理(2)表示ri(x)的系数第二节循环码的编码(P165,174)多项式乘法和除法电路循环码的编码电路(乘法和除法)一、多项式乘法和除法电路b0b1b2br-2b1br-1b1br输出C(x)输入A(x)a0
7、,a1,…ak乘B(x)运算电路(利用校验多项式h(x)编码时会用到)b0b1b2br-2b1br-1b1br输出C(x)输入A(x)a0,a1,…ak乘B(x)运算电路akb0akb1akbr-2akbr-1-b1b1br-1输出商q(x)输入A(x)-b2-br-1-b0除B(x)运算电路a0,a1,…ak除式B(x)构成电路，被除式A(x)的系数依次送入电路h0h1h2hr-2b1hr-1b1hr输入A(x)a0,a1,…ak-g1gr-1输出商q(x)-g2-g0-gr-1-gr-1乘H(x),除g(x)运算电路二、循环码编码电路(P17
8、4)n-k级编码器基本原理：利用生成多项式g(x)若要求编成非系统码形式，则利用乘法电路若要求编成系统码形式，则利用除法电路n-k级乘法
